Uma lata cilíndrica aberta tem dimensões de 3 pols de diâmetro e 4 pols de altura. Por meio de diferenciais, calcule aproximadamente a quantidade de material se a lata deve ter 0,015 pols de espessura.

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a dúvida aqui. A gente tem uma lata cilíndrica que está aberta, ou seja, sem tampa, com diâmetro de 3 pols e altura de 4 pols. A pergunta é: usando diferenciais, quanto de material a lata vai precisar se a espessura do material for de 0,015 pols. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre áreas de superfície e como usar diferenciais para aproximar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a área de superfície da lata. Como a lata está aberta, ela só tem a área lateral e a área da tampa (topo). A área lateral de um cilindro é dada pela fórmula:
E a área da tampa é:
Onde é o raio e é a altura.

Passo 3

Vamos calcular o raio da lata. O diâmetro é 3 pols, então o raio é metade disso:
A altura já sabemos que é 4 pols.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área lateral:
E a área da tampa:

Passo 5

Somando as duas áreas para obter a área total de superfície da lata:

Passo 6

Agora, usando diferenciais, a quantidade aproximada de material é a área de superfície multiplicada pela espessura :
Onde pols.

Passo 7

Substituindo os valores:

Resposta

A quantidade aproximada de material necessária para a lata é aproximadamente pols cúbicos, o que dá cerca de 0,672 pols³ quando calculado ( ).

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