- A Lei de Gauss é muito importante no estudo dos campos eletrostáticos e é um procedimento alternativo para o cálculo de campos elétricos. Considere uma carga puntiforme positiva de
que está circundada por uma esfera de raio igual a 1 cm , centralizada.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor do fluxo elétrico produzido por essa carga na esfera.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
E.
.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor do fluxo elétrico produzido por essa carga na esfera.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o fluxo elétrico produzido por uma carga puntiforme positiva de
através de uma esfera de raio
que a envolve (a esfera é centrada na carga). As alternativas numéricas são fornecidas e devo escolher a correta.
Informações dadas:
- Carga encerrada:
- Raio da esfera:
- A esfera é centrada na carga (isto é importante: a carga está no interior e no centro da superfície fechada).
- Pede-se o fluxo elétrico
produzido por essa carga na superfície esférica.
Passo 2
O que é fluxo elétrico? Vou te explicar de um jeito simples: o fluxo elétrico através de uma superfície fechada mede quantas “linhas de campo” elétrico atravessam essa superfície. Matemáticamente, o fluxo elétrico total é a integral de superfície do produto escalar entre o campo elétrico
e um elemento de área vetorial
:
Aqui:
-
é o campo elétrico no ponto da superfície. -
é um vetor com direção normal à superfície, módulo igual à área infinitesimal, e sentido para fora da superfície. - O símbolo
indica integração sobre toda a superfície fechada.
Passo 3
Agora uma observação-chave: quando a carga puntiforme está no centro de uma esfera, o campo elétrico tem simetria esférica e é radial. Isso significa que, em toda a superfície esférica,
ou seja, o campo é perpendicular (radial) à superfície e tem o mesmo módulo em todos os pontos da esfera. Então o produto escalar simplifica para
, e podemos tirar
fora da integral, porque é constante sobre a esfera.
Além disso, pela lei de Coulomb o módulo do campo elétrico a uma distância
de uma carga puntiforme é
onde:
-
é a constante eletrostática, . -
é a permissividade do vácuo (constante elétrica).
Passo 4
Calculemos então a integral do fluxo. Como
é constante sobre a esfera e a área total da esfera é
,
Substituindo
obtemos
Como
, isso fica
Conclusão importante (que é a forma da Lei de Gauss para uma carga encerrada): o fluxo através de qualquer superfície fechada que contenha a carga é
ou seja, o fluxo depende apenas da carga encerrada e não do raio da esfera. (Ótimo: isto significa que não precisamos usar o valor de
numericamente.)
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente. Valores:
-
-
(valor padrão).
Aplicando
Vamos dividir passo a passo:
- Dividindo as potências de dez:
- Dividindo os mantissas:
Multiplicando:
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas:
Unidade do fluxo elétrico é
. (Observação: nas alternativas dadas as unidades aparecem como
, que é incorreto para fluxo; porém numericamente a alternativa que mais se aproxima do valor correto é a que apresenta
, ou seja
.)
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas:
- Alternativa B:
(isto é ), que é muito próximo do valor calculado .
As outras alternativas estão muito distantes ou são zero.
Portanto, a alternativa correta é a B.
Resposta
B.