1. A Lei de Gauss é muito importante no estudo dos campos eletrostáticos e é um procedimento alternativo para o cálculo de campos elétricos. Considere uma carga puntiforme positiva de 1,0 \mu \mathrm{C} que está circundada por uma esfera de raio igual a 1 cm , centralizada.
    Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor do fluxo elétrico produzido por essa carga na esfera.
    \bigcirc A. \Phi=0,11 \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
    \bigcirc B. \Phi=0,11 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
    \bigcirc C. \Phi=0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
    \bigcirc D. \Phi=1,1 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
    \bigcirc E. \Phi=0,11 \times 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o fluxo elétrico produzido por uma carga puntiforme positiva de 1,0\\ \mu\mathrm{C} através de uma esfera de raio 1\\ \mathrm{cm} que a envolve (a esfera é centrada na carga). As alternativas numéricas são fornecidas e devo escolher a correta.
Informações dadas:
  • Carga encerrada: Q = 1,0\\ \mu\mathrm{C} = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Raio da esfera: r = 1\\ \mathrm{cm} = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • A esfera é centrada na carga (isto é importante: a carga está no interior e no centro da superfície fechada).
  • Pede-se o fluxo elétrico \Phi produzido por essa carga na superfície esférica.

Passo 2

O que é fluxo elétrico? Vou te explicar de um jeito simples: o fluxo elétrico através de uma superfície fechada mede quantas “linhas de campo” elétrico atravessam essa superfície. Matemáticamente, o fluxo elétrico total é a integral de superfície do produto escalar entre o campo elétrico \mathbf{E} e um elemento de área vetorial d\mathbf{A}:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
Aqui:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
  • d\mathbf{A} é um vetor com direção normal à superfície, módulo igual à área infinitesimal, e sentido para fora da superfície.
  • O símbolo \oint indica integração sobre toda a superfície fechada.

Passo 3

Agora uma observação-chave: quando a carga puntiforme está no centro de uma esfera, o campo elétrico tem simetria esférica e é radial. Isso significa que, em toda a superfície esférica,
\mathbf{E} = E(r)\,\hat{r},
ou seja, o campo é perpendicular (radial) à superfície e tem o mesmo módulo em todos os pontos da esfera. Então o produto escalar simplifica para \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E\,dA, e podemos tirar E fora da integral, porque é constante sobre a esfera.
Além disso, pela lei de Coulomb o módulo do campo elétrico a uma distância r de uma carga puntiforme é
E(r) = \frac{kQ}{r^{2}},
onde:
  • k é a constante eletrostática, k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante elétrica).

Passo 4

Calculemos então a integral do fluxo. Como E é constante sobre a esfera e a área total da esfera é 4\pi r^{2},
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E \oint dA = E\cdot 4\pi r^{2}.
Substituindo E = \dfrac{kQ}{r^{2}} obtemos
\Phi = \frac{kQ}{r^{2}}\cdot 4\pi r^{2} = 4\pi k Q.
Como k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, isso fica
\Phi = 4\pi \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot Q = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Conclusão importante (que é a forma da Lei de Gauss para uma carga encerrada): o fluxo através de qualquer superfície fechada que contenha a carga é
\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_{0}},
ou seja, o fluxo depende apenas da carga encerrada e não do raio da esfera. (Ótimo: isto significa que não precisamos usar o valor de r numericamente.)

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente. Valores:
  • Q = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • \varepsilon_{0} = 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})} (valor padrão).
Aplicando
\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} = \frac{1{,}0\times10^{-6}}{8{,}854\times10^{-12}}.
Vamos dividir passo a passo:
  • Dividindo as potências de dez: 10^{-6}/10^{-12} = 10^{6}.
  • Dividindo os mantissas: 1{,}0 / 8{,}854 \approx 0{,}11294.
    Multiplicando:
\Phi \approx 0{,}11294 \times 10^{6} = 1{,}1294\times10^{5}.
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas:
\Phi \approx 1{,}13\times10^{5}.
Unidade do fluxo elétrico é \mathrm{N\cdot m^{2}/C}. (Observação: nas alternativas dadas as unidades aparecem como \mathrm{N/C}, que é incorreto para fluxo; porém numericamente a alternativa que mais se aproxima do valor correto é a que apresenta 0{,}11\times10^{6}, ou seja 1{,}1\times10^{5}.)

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas:
  • Alternativa B: \Phi = 0{,}11\times10^{6} (isto é 1{,}1\times10^{5}), que é muito próximo do valor calculado 1{,}13\times10^{5}.
    As outras alternativas estão muito distantes ou são zero.
Portanto, a alternativa correta é a B.

Resposta

B. \Phi=0{,}11\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}

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