1. A Lei de Gauss pode ser utilizada de forma abrangente para se calcular o campo elétrico, mas somente será útil na prática se a simetria for utilizada de forma correta. Os três principais tipos de simetria que ajudam o cálculo da Lei de Gauss são simetria planar, esférica e cilíndrica.
    Assinale a alternativa que apresenta corretamente a expressão do campo elétrico em uma folha plana não condutora com carga \sigma uniforme por unidade de área. Considere a folha plana infinita.
    \bigcirc A. E=2 \sigma / A.
    \bigcirc B. E=\sigma / \varepsilon_{0}.
    \bigcirc C. E=\varepsilon_{0 / 2 A}.
    \bigcirc D. E=\varepsilon_{0} \sigma.
    \bigcirc E. E=\sigma / 2 \varepsilon_{0}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique a expressão do campo elétrico criada por uma folha plana infinita, não condutora, que possui carga superficial uniforme. Informações importantes fornecidas:
  • A folha é plana e considerada infinita (ou seja, muito grande, com simetria translacional).
  • A densidade de carga por unidade de área é \sigma (constante e uniforme).
  • A folha é não condutora (a carga está distribuída na própria folha, mas é localizada na superfície infinitesimal da folha).
  • Queremos a expressão do módulo do campo elétrico \,E, gerado por essa folha.

Passo 2

Apresentando a lei que vamos usar: a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dela dividida por \varepsilon_0. Em fórmula:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico vetorial em cada ponto da superfície.
  • d\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal (módulo igual à área do elemento e direção normal à superfície apontando para fora).
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície fechada.
  • \varepsilon_0 é a constante permissividade do vácuo (constante elétrica).

Passo 3

Entendendo a simetria do problema (passo essencial para usar Gauss com sucesso):
  • A folha é infinita e uniforme, logo não existe direção privilegiada no plano da folha. Por simetria, o campo elétrico só pode depender da distância normal à folha e deve apontar perpendicularmente ao plano (ou seja, na direção normal à folha).
  • Além disso, em ambos os lados da folha o módulo do campo, a mesma distância da folha, tem o mesmo valor (simetria de reflexão).
  • Para uma folha infinitamente estendida, o módulo do campo não depende da distância normal (isso vem do idealização da folha infinita): portanto, E é constante nas duas faces a certa distância pequena e nos capôs do nosso “gaussiano”.

Passo 4

Escolhendo a superfície de Gauss adequada: um “pílula” cilíndrica (um cilindro curto) cujo eixo é perpendicular à folha, atravessando a folha. Características do cilindro:
  • As duas tampas planas têm área A cada uma, normais ao campo \mathbf{E}.
  • A parte lateral curva do cilindro tem seu vetor área paralelo ao plano da folha (logo ortogonal a \mathbf{E}), portanto não contribui para o fluxo.
  • A carga contida dentro do cilindro é simplesmente a carga da região da folha que fica entre as tampas — como a folha é infinitesimalmente fina, toda a carga dentro do cilindro é \sigma A.

Passo 5

Calcular o fluxo através da superfície de Gauss:
  • Fluxo pela tampada superior: \Phi_{\text{sup}} = E\,A (pois \mathbf{E} e d\mathbf{A} estão alinhados).
  • Fluxo pela tampada inferior: \Phi_{\text{inf}} = E\,A (mesma magnitude, sentido oposto do vetor área externo, mas na soma do módulo com a orientação do campo leva ao mesmo valor de fluxo total positivo para uso direto na equação; aqui trabalhamos com módulos e consideramos a contribuição total absoluta).
  • Fluxo pela lateral: \Phi_{\text{lat}} = 0 (pois \mathbf{E}\perp d\mathbf{A} na lateral).
    Logo o fluxo total é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E A + E A = 2 E A.

Passo 6

Calcular a carga encerrada e aplicar a Lei de Gauss:
  • A carga encerrada pelo cilindro é a densidade superficial vezes a área da interseção:
Q_{\text{enc}}=\sigma A.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
2 E A = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando A (positivo e não nulo) e isolando E:
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

Passo 7

Interpretação final e observações intuitivas:
  • O campo é perpendicular à folha e tem o mesmo módulo dos dois lados; para \sigma>0 ele aponta para fora da folha (em direções normais), para \sigma<0 aponta para dentro.
  • Importante notar a diferença entre uma folha infinita não condutora (resultado acima) e uma placa condutora isolada de espessura negligenciável: para uma folha condutora infinitamente fina com cargas apenas nas superfícies externas do condutor, o campo fora pode ser diferente (ex.: duas superfícies somando), mas no enunciado foi dito explicitamente “folha plana não condutora”, então o resultado usado é \,E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,.

Resposta

E. E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}

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