- A Lei de Gauss pode ser utilizada de forma abrangente para se calcular o campo elétrico, mas somente será útil na prática se a simetria for utilizada de forma correta. Os três principais tipos de simetria que ajudam o cálculo da Lei de Gauss são simetria planar, esférica e cilíndrica.
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a expressão do campo elétrico em uma folha plana não condutora com carga
uniforme por unidade de área. Considere a folha plana infinita.
A.
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B.
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C.
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D.
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E.
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Assinale a alternativa que apresenta corretamente a expressão do campo elétrico em uma folha plana não condutora com carga
Passo 1
O enunciado pede que a gente identifique a expressão do campo elétrico criada por uma folha plana infinita, não condutora, que possui carga superficial uniforme. Informações importantes fornecidas:
- A folha é plana e considerada infinita (ou seja, muito grande, com simetria translacional).
- A densidade de carga por unidade de área é
(constante e uniforme). - A folha é não condutora (a carga está distribuída na própria folha, mas é localizada na superfície infinitesimal da folha).
- Queremos a expressão do módulo do campo elétrico
, gerado por essa folha.
Passo 2
Apresentando a lei que vamos usar: a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dela dividida por
. Em fórmula:
Explicando cada símbolo:
-
é o campo elétrico vetorial em cada ponto da superfície. -
é o vetor área infinitesimal (módulo igual à área do elemento e direção normal à superfície apontando para fora). -
é a carga total contida no volume limitado pela superfície fechada. -
é a constante permissividade do vácuo (constante elétrica).
Passo 3
Entendendo a simetria do problema (passo essencial para usar Gauss com sucesso):
- A folha é infinita e uniforme, logo não existe direção privilegiada no plano da folha. Por simetria, o campo elétrico só pode depender da distância normal à folha e deve apontar perpendicularmente ao plano (ou seja, na direção normal à folha).
- Além disso, em ambos os lados da folha o módulo do campo, a mesma distância da folha, tem o mesmo valor (simetria de reflexão).
- Para uma folha infinitamente estendida, o módulo do campo não depende da distância normal (isso vem do idealização da folha infinita): portanto,
é constante nas duas faces a certa distância pequena e nos capôs do nosso “gaussiano”.
Passo 4
Escolhendo a superfície de Gauss adequada: um “pílula” cilíndrica (um cilindro curto) cujo eixo é perpendicular à folha, atravessando a folha. Características do cilindro:
- As duas tampas planas têm área
cada uma, normais ao campo . - A parte lateral curva do cilindro tem seu vetor área paralelo ao plano da folha (logo ortogonal a
), portanto não contribui para o fluxo. - A carga contida dentro do cilindro é simplesmente a carga da região da folha que fica entre as tampas — como a folha é infinitesimalmente fina, toda a carga dentro do cilindro é
.
Passo 5
Calcular o fluxo através da superfície de Gauss:
- Fluxo pela tampada superior:
(pois e estão alinhados). - Fluxo pela tampada inferior:
(mesma magnitude, sentido oposto do vetor área externo, mas na soma do módulo com a orientação do campo leva ao mesmo valor de fluxo total positivo para uso direto na equação; aqui trabalhamos com módulos e consideramos a contribuição total absoluta). - Fluxo pela lateral:
(pois na lateral).
Logo o fluxo total é
Passo 6
Calcular a carga encerrada e aplicar a Lei de Gauss:
- A carga encerrada pelo cilindro é a densidade superficial vezes a área da interseção:
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Cancelando
(positivo e não nulo) e isolando :
Passo 7
Interpretação final e observações intuitivas:
- O campo é perpendicular à folha e tem o mesmo módulo dos dois lados; para
ele aponta para fora da folha (em direções normais), para aponta para dentro. - Importante notar a diferença entre uma folha infinita não condutora (resultado acima) e uma placa condutora isolada de espessura negligenciável: para uma folha condutora infinitamente fina com cargas apenas nas superfícies externas do condutor, o campo fora pode ser diferente (ex.: duas superfícies somando), mas no enunciado foi dito explicitamente “folha plana não condutora”, então o resultado usado é
.
Resposta
E.