Lei Resfiamento de Newton: Quando a diferença da temperatura entre um corpo e o medio ambente é pequena, o calor transferido em uma unidade de tempo entre o corpo e o medio ambente é proporcional a diferença da temperatura entre o corpo e o medio ambente. A edo que modela este fenômeno é:
\left\{\begin{array}{l} T^{\prime}=k\left(T_{a}-T\right) \\\ T(0)=T_{0}, \end{array}\right.
onde T=T(t) é a temperatura, T_{a} é a temperatura do medio ambente constante, T_{0} é a tempartura inicial e k>0.
(a) Sem resolver a edo, pode concluir algo sobre a temperatura?
(b) Determine a solução o PVI.

Passo 1

O enunciado apresenta a Lei de Resfriamento de Newton, modelada pela EDO
T' = k\bigl(T_{a} - T\bigr),
com a condição inicial T(0)=T_{0}, onde T_{a} é a temperatura do meio (constante) e k>0. Queremos (a) deduzir propriedades qualitativas de T(t) sem resolver e (b) encontrar a solução exata desse PVI.

Passo 2

Analisando o sinal de T':
– Se T(t)<T_{a}, então T_{a}-T(t)>0 e, como k>0, segue T'(t)>0. Assim, T cresce sempre que estiver abaixo de T_{a}.
– Se T(t)>T_{a}, então T_{a}-T(t)<0 e T'(t)<0. Logo, T decresce sempre que estiver acima de T_{a}.
Dessa forma, T(t) evolui monotonamente em direção a T_{a}, permanecendo entre T_{0} e T_{a} e aproximando-se assintoticamente de T_{a}.

Passo 3

Para resolver o PVI, usamos separação de variáveis. Reescrevemos
\frac{dT}{dt} = k\bigl(T_{a}-T\bigr)
como
\frac{dT}{T_{a}-T} = k\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dT}{T_{a}-T} = \int k\,dt.
No lado esquerdo, fazemos a substituição u=T_{a}-T, du=-dT, obtendo
-\int \frac{du}{u} = kt + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad -\ln|u| = kt + C_{1}.

Passo 4

Voltando a T, temos
-\ln\bigl|T_{a}-T\bigr| = kt + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|T_{a}-T\bigr| = -kt - C_{1}.
Definindo C=-C_{1}, escreve-se
\ln\bigl|T_{a}-T\bigr| = -kt + C \quad\Longrightarrow\quad |T_{a}-T| = e^{C}e^{-kt}.
Como T tende a T_{a}, o argumento de valor absoluto é positivo e podemos pôr
T_{a}-T = A\,e^{-kt},
com A=e^{C}. Usando a condição T(0)=T_{0}:
T_{a}-T_{0} = A\,e^{0} \quad\Longrightarrow\quad A = T_{a}-T_{0}.
Logo,
T_{a}-T(t) = \bigl(T_{a}-T_{0}\bigr)e^{-kt} \quad\Longrightarrow\quad T(t) = T_{a} - \bigl(T_{a}-T_{0}\bigr)e^{-kt}.
Rearranjando,
T(t) = T_{a} + \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-kt}.

Resposta

(a) A temperatura T(t) varia monotonamente em direção a T_{a}: se T_{0}<T_{a}, T cresce até se aproximar de T_{a}; se T_{0}>T_{a}, T decresce até se aproximar de T_{a}. Em todos os casos, T(t) fica entre T_{0} e T_{a} e tende a T_{a} quando t\to\infty.
(b) A solução do PVI é
T(t) = T_{a} + \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t}.

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