Leite condensado é esterilizado em uma lata com \mathbf{7 , 5 ~ c m} de diâmetro e \mathbf{9 , 5 ~ c m} de altura. Calcule o tempo necessário para aquecer o leite de \mathbf{4 5}^{\circ} \mathrm{C} para \mathbf{1 1 5}^{\circ} \mathrm{C}, considerando que:
a) a lata está em movimento durante o aquecimento, de modo que a temperatura do leite permanece uniforme em todo o seu interior;
b) a lata contém 0,42 \mathbf{g} de leite;
c) o coeficiente global de transferência de calor entre o meio de aquecimento e o leite é 300 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} (considere equivalente ao h);
d) a temperatura do meio de aquecimento é \mathbf{1 3 0}^{\circ} \mathbf{C}_{\text {; }}
e) o calor específico médio do leite, ao longo da faixa de temperatura do aquecimento, é \mathbf{3 6 5 0 ~ J} \boldsymbol{/} \mathbf{k g}{ }^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o tempo necessário para aquecer o leite dentro da lata de 45^\circ\mathrm{C} até 115^\circ\mathrm{C}, nas condições dadas.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • diâmetro da lata: D = 7{,}5\\ \mathrm{cm};
  • altura da lata: H = 9{,}5\\ \mathrm{cm};
  • massa do leite: m = 0{,}42\\ \mathrm{g} (valor escrito no enunciado);
  • coeficiente global de transferência de calor: h = 300\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do meio de aquecimento: T_\infty = 130^\circ\mathrm{C};
  • temperatura inicial do leite: T_i = 45^\circ\mathrm{C};
  • temperatura final desejada: T_f = 115^\circ\mathrm{C};
  • calor específico médio do leite: c = 3650\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}{}^\circ\mathrm{C}.
    Observação importante dada no item (a): a lata está em movimento durante o aquecimento, de modo que a temperatura do leite permanece uniforme em todo o interior — isto autoriza usar o modelo de corpo com temperatura uniforme (modelo “lumped capacitance”).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida): quando um corpo com temperatura uniforme é aquecido por um fluido a temperatura constante T_\infty com coeficiente convectivo h, o balanço de energia é
m c\frac{dT}{dt}=hA\bigl(T_\infty-T\bigr),
onde
  • m é a massa do corpo (kg),
  • c é o calor específico (J/kg ^\circC),
  • A é a área de troca térmica (m ^2),
  • T(t) é a temperatura do corpo no tempo t (^\circC),
  • T_\infty é a temperatura do meio (^\circC),
  • h é o coeficiente global de transferência (W/m ^2^\circC).
Essa equação é uma ODE linear cuja solução é exponencial. Integrando (separando variáveis) obtém-se a forma prática para o tempo necessário para ir de T_i a T_f:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\left(-\frac{hA}{m c}\,t\right).
Isolando t,
t=-\frac{m c}{h A}\ln\!\left(\frac{T_f-T_\infty}{T_i-T_\infty}\right).
Aqui cada símbolo já foi explicado; esta fórmula é o coração da resolução.

Passo 3

Cálculo da área da lata (superfície externa que troca calor). A lata é um cilindro com tampas circulares; a área total externa é soma da área lateral com as duas bases:
A=\text{área lateral}+\text{áreas das bases} =\pi D H + 2\left(\frac{\pi D^2}{4}\right)=\pi D H + \frac{\pi D^2}{2}.áá
Converter dimensões para o SI: D=7{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}075\\ \mathrm{m} e H=9{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}095\\ \mathrm{m}.
Calculemos cada termo:
\pi D H=\pi(0{,}075)(0{,}095)=\pi(0{,}007125)=0{,}007125\pi\\ \mathrm{m}^2.
\frac{\pi D^2}{2}=\frac{\pi(0{,}075)^2}{2}=\frac{\pi(0{,}005625)}{2}=0{,}0028125\pi\\ \mathrm{m}^2.
Somando:
A=\bigl(0{,}007125\pi+0{,}0028125\pi\bigr)\\ \mathrm{m}^2 =0{,}0099375\pi\\ \mathrm{m}^2.
Agora valor numérico:
A\approx 0{,}0099375\times 3{,}14159 \approx 0{,}03121\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Conversões e cálculo de m c. O enunciado dá m=0{,}42\\ \mathrm{g}. Converter para quilograma (SI):
m=0{,}42\\ \mathrm{g}=0{,}42\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg}=0{,}00042\\ \mathrm{kg}.
Calor armazenável por grau:
m c = (0{,}00042\\ \mathrm{kg})(3650\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}{}^\circ\mathrm{C}) =0{,}00042\times 3650\\ \mathrm{J}/{}^\circ\mathrm{C}.
m c \approx 1{,}533\\ \mathrm{J}/{}^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo da constante de tempo \tau=\dfrac{m c}{h A} que aparece na exponencial:
hA = (300\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C})(0{,}03121\\ \mathrm{m}^2) \approx 300\times 0{,}03121\\ \mathrm{W}/{}^\circ\mathrm{C}.
hA\approx 9{,}363\\ \mathrm{W}/{}^\circ\mathrm{C}.
Portanto
\tau=\frac{m c}{hA}\approx\frac{1{,}533}{9{,}363}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}1637\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Cálculo do logaritmo e do tempo t. Primeiro a razão dentro do logaritmo:
\frac{T_f-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{115-130}{45-130}=\frac{-15}{-85}=\frac{15}{85}\approx 0{,}1764706.
Agora aplicar a fórmula
t=-\tau\ln\!\left(\frac{T_f-T_\infty}{T_i-T_\infty}\right) =-0{,}1637\ln(0{,}1764706).
Calcule o logaritmo:
\ln(0{,}1764706)\approx -1{,}7346.
Portanto
t\approx -0{,}1637\times(-1{,}7346)\approx 0{,}284\\ \mathrm{s}.
Comentário amigo: o resultado ficou muito pequeno porque usei literalmente m=0{,}42\\ \mathrm{g} como o enunciado escreveu — isso corresponde a uma massa muito pequena de leite, por isso aquece quase instantaneamente.

Passo 7

Cálculo de checagem (caso usual/mais provável): se a intenção do enunciado fosse m=0{,}42\\ \mathrm{kg} (uma lata típica com 420\\ \mathrm{g}), o tempo escala linearmente com m. Multiplicando por 1000:
t_{0{,}42\\ \mathrm{kg}}\approx 0{,}284\\ \mathrm{s}\times 1000\approx 284\\ \mathrm{s}\approx 4{,}7\\ \text{min}.
Assim, interpretando m como 0{,}42\\ \mathrm{kg}, o aquecimento levaria cerca de 284\\ \mathrm{s} (aprox. 4{,}7 minutos), valor que é fisicamente mais realista para uma lata cheia.

Resposta

t \approx 0{,}28\\ \mathrm{s} (usando m=0{,}42\\ \mathrm{g}=0{,}00042\\ \mathrm{kg}).
t \approx 284\\ \mathrm{s}\approx 4{,}7\\ \text{min} (se a massa for m=0{,}42\\ \mathrm{kg}, hipótese provável).

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