Leite condensado é esterilizado em uma lata com
de diâmetro e
de altura. Calcule o tempo necessário para aquecer o leite de
para
, considerando que:
a) a lata está em movimento durante o aquecimento, de modo que a temperatura do leite permanece uniforme em todo o seu interior;
b) a lata contém
de leite;
c) o coeficiente global de transferência de calor entre o meio de aquecimento e o leite é
(considere equivalente ao h);
d) a temperatura do meio de aquecimento é
e) o calor específico médio do leite, ao longo da faixa de temperatura do aquecimento, é
.
a) a lata está em movimento durante o aquecimento, de modo que a temperatura do leite permanece uniforme em todo o seu interior;
b) a lata contém
c) o coeficiente global de transferência de calor entre o meio de aquecimento e o leite é
d) a temperatura do meio de aquecimento é
e) o calor específico médio do leite, ao longo da faixa de temperatura do aquecimento, é
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o tempo necessário para aquecer o leite dentro da lata de
até
, nas condições dadas.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- diâmetro da lata:
; - altura da lata:
; - massa do leite:
(valor escrito no enunciado); - coeficiente global de transferência de calor:
; - temperatura do meio de aquecimento:
; - temperatura inicial do leite:
; - temperatura final desejada:
; - calor específico médio do leite:
.
Observação importante dada no item (a): a lata está em movimento durante o aquecimento, de modo que a temperatura do leite permanece uniforme em todo o interior — isto autoriza usar o modelo de corpo com temperatura uniforme (modelo “lumped capacitance”).
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida): quando um corpo com temperatura uniforme é aquecido por um fluido a temperatura constante
com coeficiente convectivo
, o balanço de energia é
onde
-
é a massa do corpo (kg), -
é o calor específico (J/kg C), -
é a área de troca térmica (m ), -
é a temperatura do corpo no tempo (^\circC), -
é a temperatura do meio (^\circC), -
é o coeficiente global de transferência (W/m ^\circC).
Essa equação é uma ODE linear cuja solução é exponencial. Integrando (separando variáveis) obtém-se a forma prática para o tempo necessário para ir de
a
:
Isolando
,
Aqui cada símbolo já foi explicado; esta fórmula é o coração da resolução.
Passo 3
Cálculo da área da lata (superfície externa que troca calor). A lata é um cilindro com tampas circulares; a área total externa é soma da área lateral com as duas bases:
Converter dimensões para o SI:
e
.
Calculemos cada termo:
Somando:
Agora valor numérico:
Passo 4
Conversões e cálculo de
. O enunciado dá
. Converter para quilograma (SI):
Calor armazenável por grau:
Passo 5
Cálculo da constante de tempo
que aparece na exponencial:
Portanto
Passo 6
Cálculo do logaritmo e do tempo
. Primeiro a razão dentro do logaritmo:
Agora aplicar a fórmula
Calcule o logaritmo:
Portanto
Comentário amigo: o resultado ficou muito pequeno porque usei literalmente
como o enunciado escreveu — isso corresponde a uma massa muito pequena de leite, por isso aquece quase instantaneamente.
Passo 7
Cálculo de checagem (caso usual/mais provável): se a intenção do enunciado fosse
(uma lata típica com
), o tempo escala linearmente com
. Multiplicando por
:
Assim, interpretando
como
, o aquecimento levaria cerca de
(aprox.
minutos), valor que é fisicamente mais realista para uma lata cheia.