Lembre-se: Dadas duas proposições p e q :
  • Escrevemos p \Longleftrightarrow q quando p \leftrightarrow q for uma tautologia.
  • Escrevemos p \Longrightarrow q quando p \rightarrow q for uma tautologia.
Quais das seguintes afirmações são corretas? Justifique sua resposta.
p \rightarrow q \Longrightarrow(r \wedge p) \rightarrow q

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a fórmula
(p \rightarrow q)\;\Longrightarrow\;( (r\wedge p)\rightarrow q )
é uma tautologia, ou seja, se sempre assume valor verdade independentemente de p,q,r. O conteúdo aqui é lógica proposicional e usaremos a noção de que, para ser tautologia, bastará ver que a implicação nunca é falsa.

Passo 2

Analisemos (p\rightarrow q)\rightarrow((r\wedge p)\rightarrow q) por casos sobre o antecedente p\rightarrow q:
  • Se \,p\rightarrow q é falsa, então toda implicação cuja parte esquerda é falsa é verdadeira.
  • Se \,p\rightarrow q é verdadeira, então todo caso em que analisamos (r\wedge p)\rightarrow q deve dar verdadeiro:
    1. Se p é falso, então r\wedge p também é falso, e daí (r\wedge p)\rightarrow q é verdadeiro (falso implica qualquer coisa).
    2. Se p é verdadeiro, então, pela hipótese p\rightarrow q, temos q verdadeiro. Logo r\wedge p (seja r como for) implica q verdadeiro, e assim (r\wedge p)\rightarrow q vale verdadeiro.
Em todos os casos a implicação se mantém verdadeira, logo é tautologia.

Passo 3

Para comparar, se tentássemos o sentido inverso
(r\wedge p)\rightarrow q\;\Longrightarrow\;(p\rightarrow q)
não seria tautologia, pois basta tomar p=\mathrm{V},\,q=\mathrm{F},\,r=\mathrm{F}:
(r\wedge p)\rightarrow q fica \mathrm{V}\rightarrow\mathrm{F} com antecedente falso (pois r\wedge p=\mathrm{F}), logo verdadeiro, mas p\rightarrow q é \mathrm{T}\rightarrow\mathrm{F}=falso, tornando a implicação geral falsa.

Resposta

A afirmação
p \rightarrow q \;\Longrightarrow\;(r \wedge p)\rightarrow q
é correta, pois corresponde a uma tautologia.

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