Lembre-se: Dadas duas proposições p e q :
  • Escrevemos p \Longleftrightarrow q quando p \leftrightarrow q for uma tautologia.
  • Escrevemos p \Longrightarrow q quando p \rightarrow q for uma tautologia.
Quais das seguintes afirmações são corretas? Justifique sua resposta.
p \rightarrow q \Longrightarrow p \leftrightarrow q

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a afirmação
p \rightarrow q \;\Longrightarrow\; p \leftrightarrow q
é correta, onde
  • escrevemos p \Longrightarrow q quando p \rightarrow q é tautologia,
  • escrevemos p \Longleftrightarrow q quando p \leftrightarrow q é tautologia.
    O conteúdo é lógica proposicional e tautologias; vamos usar definição de tautologia e procurar um contra-exemplo.

Passo 2

Lembrando que uma fórmula é tautologia quando, para toda atribuição de valores lógicos a p e q, ela vale verdade. Logo
p \rightarrow q\quad\text{é tautologia}é
significa que em nenhuma atribuição temos p verdadeiro e q falso (isto é, \neg p\lor q é sempre verdadeira).

Passo 3

Por outro lado,
p \leftrightarrow q\quad\text{é tautologia}é
significa que em toda atribuição p e q têm sempre o mesmo valor (ou ambos verdadeiros, ou ambos falsos).

Passo 4

Basta achar um caso em que p \rightarrow q seja tautologia mas p \leftrightarrow q não. Considere a situação em que p é sempre falso (não interessa o valor de q).
– Se p é sempre falso, então toda atribuição dá p \rightarrow q verdadeiro, logo é tautologia.
– Mas p \leftrightarrow q fica equivalente a “falso se q for verdadeiro, e verdadeiro se q for falso”, então não é sempre verdadeiro (depende de q).
Portanto há um contra-exemplo e a implicação falha.

Resposta

A afirmação \;p \rightarrow q \Longrightarrow p \leftrightarrow q não é correta.

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