Lembre-se: Dadas duas proposições p e q :
  • Escrevemos p \Longleftrightarrow q quando p \leftrightarrow q for uma tautologia.
  • Escrevemos p \Longrightarrow q quando p \rightarrow q for uma tautologia.
Quais das seguintes afirmações são corretas? Justifique sua resposta.
(p \vee q) \wedge(\neg p \vee r) \Longrightarrow q \vee r

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a fórmula
\bigl((p\vee q)\wedge(\neg p\vee r)\bigr)\;\longrightarrow\;(q\vee r)
é uma tautologia. O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar análise semântica por casos para mostrar que toda valoração torna a implicação verdadeira.

Passo 2

Analisamos semanticamente em dois casos para a variável p: quando p é verdadeiro e quando p é falso.

Passo 3

Caso p seja verdadeiro, temos
p\vee q = \text{V},
e para \neg p\vee r ser verdadeiro, como \neg p é falso, precisa ser r verdadeiro. Portanto r é verdadeiro e disso segue
q\vee r = \text{V}.

Passo 4

Caso p seja falso, temos
\neg p\vee r = \text{V},
e para p\vee q ser verdadeiro, como p é falso, precisa ser q verdadeiro. Logo q é verdadeiro e
q\vee r = \text{V}.

Passo 5

Em ambos os casos, sempre que (p\vee q)\wedge(\neg p\vee r) é verdadeiro, também q\vee r é verdadeiro. Logo a implicação
\bigl((p\vee q)\wedge(\neg p\vee r)\bigr)\;\longrightarrow\;(q\vee r)
é verdadeira sob toda atribuição de valores, ou seja, é tautologia.

Resposta

A afirmação (p \vee q) \wedge(\neg p \vee r) \Longrightarrow q \vee r é correta, pois a implicação é tautologia.

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