Lembre-se: Dadas duas proposições p e q :
  • Escrevemos p \Longleftrightarrow q quando p \leftrightarrow q for uma tautologia.
  • Escrevemos p \Longrightarrow q quando p \rightarrow q for uma tautologia.
Quais das seguintes afirmações são corretas? Justifique sua resposta.
(p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow r) \Longrightarrow p \rightarrow r

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a fórmula
((p\to q)\wedge(q\to r))\;\Longrightarrow\;(p\to r)
é uma tautologia. O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar equivalências de implicação e as Leis de De Morgan para mostrar que a fórmula é sempre verdadeira.

Passo 2

Primeiro, escrevemos cada implicação em termos de disjunção:
p\to q\equiv\neg p\lor q,\quad q\to r\equiv\neg q\lor r,\quad p\to r\equiv\neg p\lor r.
Então a fórmula torna-se
((\neg p\lor q)\wedge(\neg q\lor r))\;\to\;(\neg p\lor r)
ou seja
\neg\bigl((\neg p\lor q)\wedge(\neg q\lor r)\bigr)\;\lor\;(\neg p\lor r).

Passo 3

Aplicando De Morgan em \neg\bigl((\neg p\lor q)\wedge(\neg q\lor r)\bigr):
\neg(\neg p\lor q)\;\lor\;\neg(\neg q\lor r) \;\equiv\;(p\wedge\neg q)\;\lor\;(q\wedge\neg r).
Portanto a fórmula fica
(p\wedge\neg q)\;\lor\;(q\wedge\neg r)\;\lor\;(\neg p\lor r).

Passo 4

Agora simplificamos por partes:
  1. (p\wedge\neg q)\lor\neg p\equiv\neg p\lor\neg q.
  2. (q\wedge\neg r)\lor r\equiv q\lor r.
    Logo a fórmula é equivalente a
(\neg p\lor\neg q)\;\lor\;(q\lor r) \;\equiv\;\neg p\;\lor\;(\neg q\lor q)\;\lor\;r \;\equiv\;\neg p\lor\text{(Verdade)}\lor r \;\equiv\;\text{Verdade}.

Resposta

A afirmação
(p \rightarrow q)\wedge(q \rightarrow r)\;\Longrightarrow\;p \rightarrow r
é correta, pois a fórmula associada é uma tautologia.

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