Lembre-se: Dadas duas proposições p e q :
  • Escrevemos p \Longleftrightarrow q quando p \leftrightarrow q for uma tautologia.
  • Escrevemos p \Longrightarrow q quando p \rightarrow q for uma tautologia.
Quais das seguintes afirmações são corretas? Justifique sua resposta.
\neg p \wedge(q \rightarrow p) \Longrightarrow \neg q

Passo 1

Estamos verificando se a fórmula
(\lnot p \land (q \to p)) \;\to\; \lnot q
é uma tautologia. O conteúdo aqui é lógica proposicional, em especial equivalências e avaliação de implicação como tautologia.

Passo 2

Usamos a equivalência q \to p \equiv \lnot q \lor p. Então o antecedente fica
\lnot p \land (q \to p) \;\equiv\; \lnot p \land (\lnot q \lor p).
Pela distributiva:
\lnot p \land (\lnot q \lor p) \equiv (\lnot p \land \lnot q)\;\lor\;(\lnot p \land p).
Como \lnot p \land p é sempre falso, sobra
\lnot p \land (q \to p) \equiv \lnot p \land \lnot q.

Passo 3

A implicação original torna-se
(\lnot p \land \lnot q)\;\to\;\lnot q.
Uma forma A\to B é tautologia sempre que toda vez que A é verdadeira B também é verdadeira. Aqui, sempre que \lnot p \land \lnot q vale, temos \lnot q verdadeiro; e se \lnot p\land\lnot q é falso, a implicação vale por definição. Logo esse condicional é sempre verdadeiro.

Resposta

A afirmação
\neg p \wedge(q \rightarrow p)\Longrightarrow \neg q
é correta, pois a fórmula correspondente é uma tautologia.

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