Com as letras da palavra sargento foram escritos todos os anagramas iniciados por vogais e com as consoantes todas juntas. Quantos são esses anagramas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todos os anagramas da palavra “sargento” que começam com uma vogal e têm todas as consoantes juntas. Para isso, vamos precisar entender de permutações e fatores combinatórios básicos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as vogais e as consoantes na palavra “sargento”.
- Vogais: a, e, o
- Consoantes: s, r, g, n, t
Temos 3 vogais e 5 consoantes, totalizando 8 letras.
Passo 3
Como o anagrama precisa começar com uma vogal, vamos escolher qual vogal vai ocupar a primeira posição. Temos 3 opções: a, e ou o.
Passo 4
Depois de escolher a vogal inicial, precisamos garantir que todas as consoantes fiquem juntas. Para facilitar, vamos considerar todas as consoantes como um único bloco. Assim, além da vogal inicial, teremos:
- 1 bloco de consoantes
- 2 vogais restantes
Isso significa que temos um total de 3 “itens” para arranjar: o bloco de consoantes e as 2 vogais restantes.
Passo 5
Vamos calcular quantas maneiras podemos arranjar esses 3 itens. Como são diferentes entre si, o número de arranjos é dado por
.
Passo 6
Dentro do bloco de consoantes, as 5 consoantes podem ser arranjadas de qualquer forma. O número de arranjos possíveis para essas consoantes é
.
Passo 7
Agora, juntando tudo:
- 3 opções para a vogal inicial
- 6 arranjos para os itens restantes
- 120 arranjos para as consoantes dentro do bloco
Multiplicando tudo:
Resposta
Existem 2160 anagramas da palavra “sargento” que começam com uma vogal e têm todas as consoantes juntas.