1. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}+3 x y+4 y^{2}}{3 x^{2}+5 y^{2}} 24. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{6}}

Passo 1

Aqui temos duas perguntas de limites duplos quando (x,y)\to(0,0):
  1. Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{2}+3xy+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}}.
  2. Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{3}}{x^{2}+y^{6}}.
Informações relevantes dadas: ambas as funções são quocientes de polinômios em x e y; o ponto de interesse é o ponto (0,0). As questões pedem o valor do limite quando as duas variáveis tendem simultaneamente para zero.

Passo 2

Antes de começar a calcular: vou explicar uma ideia-chave sobre limites em várias variáveis (passo didático para você entender o que vou usar).
Quando falamos de \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y), exigimos que todo caminho possível que leve (x,y) a (0,0) dê o mesmo resultado. Se eu encontrar dois caminhos que dão resultados diferentes, isso prova que o limite não existe. Por outro lado, para provar que o limite existe é preciso mostrar que o valor é o mesmo para todos os caminhos — isso costuma ser mais trabalhoso e exige argumentos como estimativas ou transformar para coordenadas polares.
Método prático que usamos com frequência em provas: testar caminhos simples (retas y=kx, ou curvas como x=y^3) — se dois caminhos simples dão valores distintos, fim de papo: o limite não existe.

Passo 3

Vamos resolver a questão 23 usando o argumento de caminhos diferentes. Primeiro, observe que tanto o numerador quanto o denominador são formas quadráticas (têm grau 2). Isso sugere testar retas do tipo y=kx.
Substituo y=kx em \displaystyle \frac{2x^{2}+3xy+4y^{2}}{3x^{2}+5y^{2}}:
\frac{2x^{2}+3x(kx)+4(kx)^{2}}{3x^{2}+5(kx)^{2}} =\frac{x^{2}\bigl(2+3k+4k^{2}\bigr)}{x^{2}\bigl(3+5k^{2}\bigr)} =\frac{2+3k+4k^{2}}{3+5k^{2}}.
Aqui ficou evidente: para cada constante k (cada inclinação da reta) obtemos um valor que depende de k. Se esse valor variar com k, o limite depende do caminho e, portanto, não existe.

Passo 4

Agora escolho dois valores de k bem simples (caminhos fáceis) para obter resultados distintos.
Caminho 1: y=0 corresponde a k=0. Substituindo k=0 na expressão acima:
\frac{2+3\cdot 0+4\cdot 0^{2}}{3+5\cdot 0^{2}}=\frac{2}{3}.
Logo, ao aproximar por pontos com y=0 (ou seja, pela reta x-axis), a razão tende a \dfrac{2}{3}.

Passo 5

Caminho 2: y=x corresponde a k=1. Substituindo k=1:
\frac{2+3\cdot 1+4\cdot 1^{2}}{3+5\cdot 1^{2}}=\frac{2+3+4}{3+5}=\frac{9}{8}.
Esse caminho dá \dfrac{9}{8}, que é diferente de \dfrac{2}{3}. Como encontramos dois caminhos com limites diferentes, concluímos que o limite original não existe.

Passo 6

Comentário didático rápido (pra você fixar a técnica): sempre que o numerador e o denominador tiverem o mesmo grau, testar retas y=kx é uma boa estratégia porque o fator x^{\text{grau}} cancela e você obtém uma função de k. Se essa função depender de k, o limite depende do caminho e não existe.

Passo 7

Agora vamos à questão 24 com o mesmo espírito didático: procurar caminhos que levem a valores diferentes.
A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x\,y^{3}}{x^{2}+y^{6}}. Vou testar caminhos simples.
Primeiro caminho óbvio: x=0. Se x=0 e y\to 0, então o numerador é 0 e o denominador é y^{6}, logo
\frac{0\cdot y^{3}}{0^{2}+y^{6}}=0.
Portanto, aproximando por pontos com x=0 temos limite 0.

Passo 8

Agora tento um caminho que faça o numerador e o segundo termo do denominador terem mesma ordem de pequenaza para obter um possível valor não nulo. Uma escolha natural é x=y^{3} (porque então x^{2}=y^{6}).
Substituo x=y^{3}:
\frac{(y^{3})\,y^{3}}{(y^{3})^{2}+y^{6}}=\frac{y^{6}}{y^{6}+y^{6}}=\frac{y^{6}}{2y^{6}}=\frac{1}{2},
desde que y\neq 0. Ao fazer y\to 0 com x=y^{3}, o quociente tende a \dfrac{1}{2}.

Passo 9

Como no passo anterior encontramos dois caminhos que dão limites distintos — para x=0 o valor é 0 e para x=y^{3} o valor é \dfrac{1}{2} — o limite em (0,0) não existe para a função da questão 24.

Passo 10

Comentário final de incentivo: quando estiver na prova, lembre-se desse truque: testar retas y=kx ou curvas do tipo que igualam ordens (como x=y^{3} aqui) costuma resolver muitos limites em \mathbb{R}^{2}. Encontra dois caminhos com valores diferentes e já ganha a questão — simples e eficaz. Você tá indo bem, continue praticando!

Resposta

  1. Não existe.
  2. Não existe.

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