-
24.
Passo 1
Aqui temos duas perguntas de limites duplos quando
:
-
Calcular
. -
Calcular
.
Informações relevantes dadas: ambas as funções são quocientes de polinômios em
e
; o ponto de interesse é o ponto
. As questões pedem o valor do limite quando as duas variáveis tendem simultaneamente para zero.
Passo 2
Antes de começar a calcular: vou explicar uma ideia-chave sobre limites em várias variáveis (passo didático para você entender o que vou usar).
Quando falamos de
, exigimos que todo caminho possível que leve
a
dê o mesmo resultado. Se eu encontrar dois caminhos que dão resultados diferentes, isso prova que o limite não existe. Por outro lado, para provar que o limite existe é preciso mostrar que o valor é o mesmo para todos os caminhos — isso costuma ser mais trabalhoso e exige argumentos como estimativas ou transformar para coordenadas polares.
Método prático que usamos com frequência em provas: testar caminhos simples (retas
, ou curvas como
) — se dois caminhos simples dão valores distintos, fim de papo: o limite não existe.
Passo 3
Vamos resolver a questão 23 usando o argumento de caminhos diferentes. Primeiro, observe que tanto o numerador quanto o denominador são formas quadráticas (têm grau 2). Isso sugere testar retas do tipo
.
Substituo
em
:
Aqui ficou evidente: para cada constante
(cada inclinação da reta) obtemos um valor que depende de
. Se esse valor variar com
, o limite depende do caminho e, portanto, não existe.
Passo 4
Agora escolho dois valores de
bem simples (caminhos fáceis) para obter resultados distintos.
Caminho 1:
corresponde a
. Substituindo
na expressão acima:
Logo, ao aproximar por pontos com
(ou seja, pela reta
-axis), a razão tende a
.
Passo 5
Caminho 2:
corresponde a
. Substituindo
:
Esse caminho dá
, que é diferente de
. Como encontramos dois caminhos com limites diferentes, concluímos que o limite original não existe.
Passo 6
Comentário didático rápido (pra você fixar a técnica): sempre que o numerador e o denominador tiverem o mesmo grau, testar retas
é uma boa estratégia porque o fator
cancela e você obtém uma função de
. Se essa função depender de
, o limite depende do caminho e não existe.
Passo 7
Agora vamos à questão 24 com o mesmo espírito didático: procurar caminhos que levem a valores diferentes.
A função é
. Vou testar caminhos simples.
Primeiro caminho óbvio:
. Se
e
, então o numerador é
e o denominador é
, logo
Portanto, aproximando por pontos com
temos limite
.
Passo 8
Agora tento um caminho que faça o numerador e o segundo termo do denominador terem mesma ordem de pequenaza para obter um possível valor não nulo. Uma escolha natural é
(porque então
).
Substituo
:
desde que
. Ao fazer
com
, o quociente tende a
.
Passo 9
Como no passo anterior encontramos dois caminhos que dão limites distintos — para
o valor é
e para
o valor é
— o limite em
não existe para a função da questão 24.
Passo 10
Comentário final de incentivo: quando estiver na prova, lembre-se desse truque: testar retas
ou curvas do tipo que igualam ordens (como
aqui) costuma resolver muitos limites em
. Encontra dois caminhos com valores diferentes e já ganha a questão — simples e eficaz. Você tá indo bem, continue praticando!
Resposta
-
Não existe.
-
Não existe.