\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[5]{x}-1}. Para calcular este limite façamos a mudança de variáveis x=t^{20}; então:
\frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[5]{x}-1}=\frac{t^{4}-1}{t^{5}-1}=\frac{\left(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1\right)(t-1)}{(t-1)\left(t^{3}+t^{2}+t+1\right)}
Se x \rightarrow 1, então t \rightarrow 1; logo: \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[5]{x}-1}=\lim _{t \rightarrow 1} \frac{t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1}{t^{3}+t^{2}+t+1}=\frac{5}{4}.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede, de forma clara:
  • É dado o limite \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[5]{x}-1}.
  • Foi proposta a mudança de variável x=t^{20}.
  • Informação importante: quando x\to 1 então t\to 1 (escolhendo a raíz 20-ésima próxima de 1).
  • Observação sobre a forma: tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando x\to 1, ou seja, a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso justifica fazer uma manipulação algébrica que permita remover a indeterminação.

Passo 2

Por que usar a mudança x=t^{20} e como aplicá‑la:
  • A ideia é transformar raízes fracionárias em potências inteiras para poder usar fatorações conhecidas.
  • Se x=t^{20} então \sqrt[4]{x}=x^{1/4}=(t^{20})^{1/4}=t^{5}, \qquad \sqrt[5]{x}=x^{1/5}=(t^{20})^{1/5}=t^{4}.
  • Substituindo na razão original obtemos, para t próximo de 1, \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[5]{x}-1}=\frac{t^{5}-1}{t^{4}-1}.

Passo 3

Fórmula de fatoração que vamos usar e sua explicação rápida:
  • Para qualquer inteiro n\ge1 vale a identidade (soma da progressão geométrica): t^{n}-1=(t-1)\bigl(t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+t+1\bigr).
  • Essa identidade vem de multiplicar (t-1) pela soma geométrica e simplificar os termos telescópicos; é uma fórmula padrão que nos permite extrair o fator t-1 quando aparece t^n-1.

Passo 4

Aplicar a fatoração aos dois polinômios:
  • Pelo item anterior, t^{5}-1=(t-1)(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1),
t^{4}-1=(t-1)(t^{3}+t^{2}+t+1).
  • Então, para t\neq 1, \frac{t^{5}-1}{t^{4}-1} =\frac{(t-1)(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1)}{(t-1)(t^{3}+t^{2}+t+1)} =\frac{t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1}{t^{3}+t^{2}+t+1}.
  • Justificativa da cancelamento: como estamos calculando o limite quando t\to 1, podemos simplificar a expressão para t\neq 1 e depois tomar o limite. Isso remove a indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 5

Avaliar o limite após a simplificação:
  • Agora a expressão simplificada é contínua em t perto de 1, então basta substituir t=1: \lim_{t\to 1}\frac{t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+1}{t^{3}+t^{2}+t+1} =\frac{1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1}{1^{3}+1^{2}+1+1} =\frac{5}{4}.
  • Como x=t^{20} define uma correspondência t\to 1 exatamente quando x\to 1, o valor do limite original é o mesmo.

Passo 6

Confirmação alternativa (intuição rápida usando derivadas):
  • Outra maneira rápida de ver o resultado é notar que para funções f(x)=x^{a} e g(x)=x^{b} com a,b>0 temos, por regra de derivação e forma de limite do tipo \tfrac{0}{0}, \lim_{x\to 1}\frac{x^{a}-1}{x^{b}-1}=\frac{a}{b}.
  • Aplicando com a=\tfrac{1}{4} e b=\tfrac{1}{5} obtemos \dfrac{1/4}{1/5}=\dfrac{5}{4}, que coincide com o resultado obtido por fatoração.

Resposta

\dfrac{5}{4}