. Para calcular este limite façamos a mudança de variáveis
; então:
Se
, então
; logo:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede, de forma clara:
- É dado o limite
. - Foi proposta a mudança de variável
. - Informação importante: quando
então (escolhendo a raíz -ésima próxima de ). - Observação sobre a forma: tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
, ou seja, a expressão tem a forma indeterminada . Isso justifica fazer uma manipulação algébrica que permita remover a indeterminação.
Passo 2
Por que usar a mudança
e como aplicá‑la:
- A ideia é transformar raízes fracionárias em potências inteiras para poder usar fatorações conhecidas.
- Se
então - Substituindo na razão original obtemos, para
próximo de ,
Passo 3
Fórmula de fatoração que vamos usar e sua explicação rápida:
- Para qualquer inteiro
vale a identidade (soma da progressão geométrica): - Essa identidade vem de multiplicar
pela soma geométrica e simplificar os termos telescópicos; é uma fórmula padrão que nos permite extrair o fator quando aparece .
Passo 4
Aplicar a fatoração aos dois polinômios:
- Pelo item anterior,
- Então, para
, - Justificativa da cancelamento: como estamos calculando o limite quando
, podemos simplificar a expressão para e depois tomar o limite. Isso remove a indeterminação .
Passo 5
Avaliar o limite após a simplificação:
- Agora a expressão simplificada é contínua em
perto de , então basta substituir : - Como
define uma correspondência exatamente quando , o valor do limite original é o mesmo.
Passo 6
Confirmação alternativa (intuição rápida usando derivadas):
- Outra maneira rápida de ver o resultado é notar que para funções
e com temos, por regra de derivação e forma de limite do tipo , - Aplicando com
e obtemos , que coincide com o resultado obtido por fatoração.