\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite, que envolve um quociente e gera uma situação de forma indeterminada ao substituir diretamente:
\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}.
O conteúdo principal é cálculo de limites e uso da regra de L’Hôpital para casos de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Verificamos a forma ao substituir x=1:
\ln(1)=0 \quad\text{e}\quad 1-1=0,
logo o quociente fica \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Para resolver, aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando \tfrac{f(x)}{g(x)} 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente:
f(x)=\ln x tem derivada f'(x)=\tfrac{1}{x}.
g(x)=x-1 tem derivada g'(x)=1.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1} =\lim_{x\to 1}\frac{\tfrac{1}{x}}{1} =\lim_{x\to 1}\frac{1}{x}.

Passo 4

Basta agora substituir x=1 no resultado da aplicação da regra:
\lim_{x\to 1}\frac{1}{x} =\frac{1}{1} =1.

Resposta

1

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