Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas e o que é pedido:
- O numerador é o polinômio
(grau ). - O denominador é o polinômio
(grau ). - Pergunta: qual é o valor do limite quando
tende a ?
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): quando temos uma razão de polinômios, o comportamento para
é dominado pelos termos de maior grau. Se o grau do denominador for maior que o do numerador, a fração tende a zero porque o denominador cresce muito mais rápido em magnitude do que o numerador. Vou mostrar isso de forma algébrica dividindo numerador e denominador pela maior potência presente, que aqui é
.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Isso é uma operação algebraicamente permitida para
, e vale também ao considerar limite em infinito:
Passo 4
Agora analiso os termos que ficaram ao passar
.
- Para qualquer inteiro positivo
, vale . (Porque o denominador cresce em módulo sem limite, então a fração vai a zero.) - Logo
- Portanto o numerador da forma transformada tende a
e o denominador tende a .
Passo 5
Pelo limite da razão:
Observação sobre o sinal: para
muito negativo,
é um número negativo pequeno, então a fração é negativa para valores muito grandes de
, aproximando-se de
pelo lado negativo. Mas o limite numérico é
.