\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+1}{x^{5}-2}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+1}{x^{5}-2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • O numerador é o polinômio \,x^{2}+1 (grau 2).
  • O denominador é o polinômio \,x^{5}-2 (grau 5).
  • Pergunta: qual é o valor do limite quando x tende a -\infty?

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando temos uma razão de polinômios, o comportamento para x\to\pm\infty é dominado pelos termos de maior grau. Se o grau do denominador for maior que o do numerador, a fração tende a zero porque o denominador cresce muito mais rápido em magnitude do que o numerador. Vou mostrar isso de forma algébrica dividindo numerador e denominador pela maior potência presente, que aqui é x^{5}.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{5}. Isso é uma operação algebraicamente permitida para x\neq0, e vale também ao considerar limite em infinito:
\frac{x^{2}+1}{x^{5}-2} = \frac{\dfrac{x^{2}}{x^{5}}+\dfrac{1}{x^{5}}}{\dfrac{x^{5}}{x^{5}}-\dfrac{2}{x^{5}}} = \frac{\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{5}}}{1-\dfrac{2}{x^{5}}}.

Passo 4

Agora analiso os termos que ficaram ao passar x\to -\infty.
  • Para qualquer inteiro positivo n, vale \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{n}}=0. (Porque o denominador cresce em módulo sem limite, então a fração vai a zero.)
  • Logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{5}}=0.
  • Portanto o numerador da forma transformada tende a 0+0=0 e o denominador tende a 1-0=1.

Passo 5

Pelo limite da razão:
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{5}}}{1-\dfrac{2}{x^{5}}} =\frac{0}{1}=0.
Observação sobre o sinal: para x muito negativo, \dfrac{1}{x^{3}} é um número negativo pequeno, então a fração é negativa para valores muito grandes de |x|, aproximando-se de 0 pelo lado negativo. Mas o limite numérico é 0.

Resposta

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