\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\Bigr).
Aqui temos uma diferença que tende a \infty-\infty, mas podemos reescrever como uma única fração e, em seguida, usar expansão em série de Taylor de e^x para resolver a indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Reescrevendo a diferença como uma só fração, obtemos
\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1} =\frac{(e^x-1)-x}{x\,(e^x-1)}.
Chamemos o numerador de N(x)=e^x-1-x e o denominador de D(x)=x\,(e^x-1). Ao fazermos x\to0, vemos que N(x)\to0 e D(x)\to0.

Passo 3

Para analisar o quociente N(x)/D(x), expandimos e^x em série de Taylor em torno de x=0:
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4).
Logo,
N(x)=e^x-1-x =\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4),
D(x)=x\,(e^x-1) =x\Bigl(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)\Bigr) =x^2+\frac{x^3}{2}+O(x^4).

Passo 4

Agora, dividiendo as séries, temos
\frac{N(x)}{D(x)} =\frac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)}{x^2+\frac{x^3}{2}+O(x^4)} =\frac{\frac{1}{2}+\frac{x}{6}+O(x^2)}{1+\frac{x}{2}+O(x^2)}.
Quando x\to0, essa fração tende a
\frac{1/2}{1}= \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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