\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln x}.
O conteúdo abordado é o cálculo de limites envolvendo forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty} e usaremos a regra de L’Hôpital, que diz que se
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\infty
e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que este último exista (ou seja \pm\infty).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada de \frac{x}{\ln x} quando x\to+\infty:
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty.
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.
    Logo temos \tfrac{\infty}{\infty} e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
f(x)=x\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=1,
g(x)=\ln x\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\frac{1}{x}.
Portanto,
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1/x}.

Passo 4

Simplificando a fração temos
\frac{1}{1/x}=x,
então
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1/x} =\lim_{x\to+\infty}x =+\infty.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln x}=+\infty.

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