\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{\arctan x - x}{x^3}.
Como ao substituir x=0 obtemos a forma \tfrac{0}{0}, vamos aplicar o Teorema de L’Hôpital sucessivas vezes (três derivações no denominador de grau 3).

Passo 2

Primeira aplicação de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador.
Numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x - x\bigr) =\frac{1}{1+x^2}-1.
Denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^3\bigr)=3x^2.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{\arctan x - x}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{\frac1{1+x^2}-1}{3x^2},
ainda forma \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Segunda aplicação de L’Hôpital: derivamos de novo.
Numerador:
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac1{1+x^2}-1\Bigr) =-\frac{2x}{(1+x^2)^2}.
Denominador:
\frac{d}{dx}(3x^2)=6x.
Fica
\lim_{x\to0}\frac{-\frac{2x}{(1+x^2)^2}}{6x} =\lim_{x\to0}\frac{-2x}{6x\,(1+x^2)^2} =\lim_{x\to0}\frac{-2}{6(1+x^2)^2},
ainda da forma \tfrac{-2}{6\cdot1}= -\tfrac{1}{3}? Na verdade é preciso cuidar: cancelamos x antes de avaliar o limite.

Passo 4

Após cancelar x\neq0 em vizinhança de zero, temos
\lim_{x\to0}\frac{-2}{6(1+x^2)^2} =\frac{-2}{6\cdot1^2} =-\frac{1}{3}.

Resposta

-\frac{1}{3}.

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