a. lim x 0 e^x-e^-xtg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender o que acontece com as funções exponencial e a tangente quando se aproxima de zero, além de aplicar algumas ferramentas de cálculo como a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando limx to 0 2xx = limx to 0 2 = 2 se aproxima de 0:
  • Numerador: ddx(e^x - e^-x) = e^x + e^-x . Sabemos que quando ddx(tan(x)) = sec^2(x) é bem pequeno, limx to 0 e^x + e^-xsec^2(x) pode ser aproximado por e^0 + e^-0 = 1 + 1 = 2 e sec^2(0) = 1cos^2(0) = 11 = 1 por 21 = 2 . Então, .
  • Denominador: , que é . Quando é próximo de 0, pode ser aproximado por .
Então, o limite fica aproximadamente:
Mas vamos formalizar isso usando a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular limites da forma derivando o numerador e o denominador.
Derivando o numerador :
Derivando o denominador :
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos nas funções derivadas:
Então, o limite fica:

Resposta

O limite é igual a .

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