O limite
existe? Explique claramente a diferença entre “o limite existe” e "o limite tende para
ou
".
Passo 1
O enunciado pede para analisar o limite
As perguntas são:
- Esse limite existe (no sentido de existir um número real)?
- Qual a diferença entre dizer que “o limite existe” e dizer que "o limite tende para
ou "?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função considerada é
, definida para . - O ponto onde se avalia o limite é
, que não pertence ao domínio da função.
Passo 2
Calcular a limite pela direita, isto é
.
Intuição simples: se
é positivo e muito pequeno (por exemplo
), então
é um número muito grande e positivo. Isso sugere que a função cresce sem limite quando
se aproxima de
pela direita.
Prova formal (definição de limite para
):
Dizemos que se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
.
Dizemos que
Dado
, escolha
. Se
então
Isso prova que
Passo 3
Calcular a limite pela esquerda, isto é
.
Intuição simples: se
é negativo e muito próximo de zero (por exemplo
), então
é um número muito grande em magnitude, mas negativo (por exemplo
). Isso sugere que a função tende para
quando
se aproxima de
pela esquerda.
Prova formal (definição de limite para
):
Dizemos que se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
.
Dizemos que
Dado
, escolha
. Se
então
e
é negativo, logo
Isso prova que
Passo 4
Explicar o significado preciso de “o limite existe” versus "o limite tende para
ou
".
Definição de limite finito: Dizemos que
existe (no sentido usual) e vale o número real
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
. Nesse caso o limite é um número real finito
.
Definição de limite infinito: Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
. Análogo para
: troca-se
por
.
Observações importantes e a diferença prática:
- Quando se afirma que o limite “existe” normalmente quer-se dizer que existe um número real finito
que satisfaz a definição com - . Nesse caso o resultado é um número real. - Dizer que
ou descreve um comportamento de divergência: a função cresce sem limite numérico positivo ou cresce em magnitude negativamente. Esses casos são classificados como “o limite diverge para (ou )”. Em termos estritos dentro dos reais, dizer que o limite é significa que não existe um número real limite; alguns autores usam a notação na reta estendida para descrever esse comportamento. - Para que exista o limite bilateral
(seja finito ou infinito), é necessário que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Se , costuma-se dizer que (compreendendo que é uma divergência positiva). Se os limites laterais são diferentes (por exemplo um é e o outro é ), então o limite bilateral não existe nem como número nem como divergência única para ou .
Passo 5
Aplicar as definições ao caso
em
e concluir.
Do Passo 2 temos
.
Do Passo 3 temos .
Do Passo 3 temos
Como os dois limites laterais são diferentes (um é
e o outro é
), o limite bilateral
não existe. Não se pode afirmar nem que ele existe como número finito, nem que ele "tende para
" nem que "tende para
" globalmente: os dois lados têm comportamentos opostos.
Um exemplo contrastante para fixar a ideia:
porque tanto pela direita quanto pela esquerda a função vai para
. Nesse caso diz-se que a função diverge para
em
(ainda que, tecnicamente, não exista um limite finito).
Dica prática para prova/exame: sempre verifique as limites laterais separadamente. Se ambos são iguais e finitos, o limite existe e é esse número. Se ambos são iguais e valem
(ou ambos
), pode-se dizer que a função diverge para
(ou
). Se os laterais são diferentes, o limite bilateral não existe.
Força aí — você já entendeu o cerne: análise de limites passa por estudar os dois lados!
Resposta
O limite não existe.
e
.