O limite
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}
existe? Explique claramente a diferença entre “o limite existe” e "o limite tende para +\infty ou -\infty ".

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}.
As perguntas são:
  • Esse limite existe (no sentido de existir um número real)?
  • Qual a diferença entre dizer que “o limite existe” e dizer que "o limite tende para +\infty ou -\infty"?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{x}, definida para x\neq 0.
  • O ponto onde se avalia o limite é x=0, que não pertence ao domínio da função.

Passo 2

Calcular a limite pela direita, isto é \lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}.
Intuição simples: se x é positivo e muito pequeno (por exemplo x=0{,}001), então \dfrac{1}{x} é um número muito grande e positivo. Isso sugere que a função cresce sem limite quando x se aproxima de 0 pela direita.
Prova formal (definição de limite para +\infty):
Dizemos que \lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty se, para todo M>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<x<\delta, temos \dfrac{1}{x}>M.
Dado M>0, escolha \delta=\dfrac{1}{M}. Se 0<x<\delta então
x<\frac{1}{M}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}>M.
Isso prova que
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty.

Passo 3

Calcular a limite pela esquerda, isto é \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}.
Intuição simples: se x é negativo e muito próximo de zero (por exemplo x=-0{,}001), então \dfrac{1}{x} é um número muito grande em magnitude, mas negativo (por exemplo -1000). Isso sugere que a função tende para -\infty quando x se aproxima de 0 pela esquerda.
Prova formal (definição de limite para -\infty):
Dizemos que \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty se, para todo N>0, existe \delta>0 tal que, sempre que -\delta<x<0, temos \dfrac{1}{x}<-N.
Dado N>0, escolha \delta=\dfrac{1}{N}. Se -\delta<x<0 então |x|<\dfrac{1}{N} e x é negativo, logo
\frac{1}{x}< -N.
Isso prova que
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty.

Passo 4

Explicar o significado preciso de “o limite existe” versus "o limite tende para +\infty ou -\infty".
Definição de limite finito: Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L existe (no sentido usual) e vale o número real L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon. Nesse caso o limite é um número real finito L.
Definição de limite infinito: Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=+\infty se, para todo M>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, temos f(x)>M. Análogo para -\infty: troca-se f(x)>M por f(x)<-M.
Observações importantes e a diferença prática:
  • Quando se afirma que o limite “existe” normalmente quer-se dizer que existe um número real finito L que satisfaz a definição com \varepsilon- \delta. Nesse caso o resultado é um número real.
  • Dizer que \lim_{x\to a} f(x)=+\infty ou \lim_{x\to a} f(x)=-\infty descreve um comportamento de divergência: a função cresce sem limite numérico positivo ou cresce em magnitude negativamente. Esses casos são classificados como “o limite diverge para +\infty (ou -\infty)”. Em termos estritos dentro dos reais, dizer que o limite é +\infty significa que não existe um número real limite; alguns autores usam a notação +\infty na reta estendida para descrever esse comportamento.
  • Para que exista o limite bilateral \lim_{x\to a} f(x) (seja finito ou infinito), é necessário que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Se \lim_{x\to a^+} f(x)=\lim_{x\to a^-} f(x)=+\infty, costuma-se dizer que \lim_{x\to a} f(x)=+\infty (compreendendo que é uma divergência positiva). Se os limites laterais são diferentes (por exemplo um é +\infty e o outro é -\infty), então o limite bilateral não existe nem como número nem como divergência única para +\infty ou -\infty.

Passo 5

Aplicar as definições ao caso \dfrac{1}{x} em x\to 0 e concluir.
Do Passo 2 temos \lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty.
Do Passo 3 temos \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.
Como os dois limites laterais são diferentes (um é +\infty e o outro é -\infty), o limite bilateral \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x} não existe. Não se pode afirmar nem que ele existe como número finito, nem que ele "tende para +\infty" nem que "tende para -\infty" globalmente: os dois lados têm comportamentos opostos.
Um exemplo contrastante para fixar a ideia: \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty porque tanto pela direita quanto pela esquerda a função vai para +\infty. Nesse caso diz-se que a função diverge para +\infty em 0 (ainda que, tecnicamente, não exista um limite finito).
Dica prática para prova/exame: sempre verifique as limites laterais separadamente. Se ambos são iguais e finitos, o limite existe e é esse número. Se ambos são iguais e valem +\infty (ou ambos -\infty), pode-se dizer que a função diverge para +\infty (ou -\infty). Se os laterais são diferentes, o limite bilateral não existe.
Força aí — você já entendeu o cerne: análise de limites passa por estudar os dois lados!

Resposta

O limite não existe.
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty e \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.