Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
g(x)=\frac{1}{x^{3}-4 x+1}

Passo 1

O enunciado pede os limites
(a) \lim_{x\to\infty}g(x) e (b) \lim_{x\to-\infty}g(x)
para a função racional
g(x)=\frac{1}{x^{3}-4x+1}.
O conteúdo é limites de funções racionais no infinito, e o truque é comparar os graus de polinômios ou dividir tudo pelo maior grau de x.

Passo 2

Fatoramos x^3 no denominador para ver o comportamento dominante:
g(x) =\frac{1}{x^3-4x+1} =\frac{1}{x^3\Bigl(1-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^3}\Bigr)} =\frac{1}{x^3}\cdot\frac{1}{1-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^3}}.

Passo 3

Para x\to\infty, temos \frac{1}{x^3}\to0 e
1-\frac{4}{x^2}+\frac{1}{x^3}\;\longrightarrow\;1.
Logo
\lim_{x\to\infty}g(x) =0\cdot\frac{1}{1}=0.

Passo 4

Para x\to-\infty, o mesmo fator \tfrac{1}{x^3} tende a 0 (embora passe por valores negativos), e o segundo fator continua tendendo a 1. Portanto
\lim_{x\to-\infty}g(x) =0.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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