Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2}+3}}{4 x+2}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2\,x^{2}+3}}{4\,x+2}.
O conteúdo envolvido é o de limites no infinito para expressões que têm radicais e polinômios. Vamos usar a ideia de fatorar x dentro da raiz e, em seguida, simplificar por x para encontrar o comportamento assintótico.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^{2}:
\sqrt{2\,x^{2}+3} = \sqrt{x^{2}\,\Bigl(2 + \frac{3}{x^{2}}\Bigr)} = |x|\,\sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}.
Como estamos fazendo x \to \infty, temos |x| = x. Logo
\sqrt{2\,x^{2}+3} = x\,\sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}.

Passo 3

Substituindo na expressão e dividindo numerador e denominador por x, obtemos
\frac{\sqrt{2\,x^{2}+3}}{4\,x+2} = \frac{x\,\sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}}{4\,x + 2} = \frac{x}{x}\;\frac{\sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}}{4 + \frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{2 + \tfrac{3}{x^{2}}}}{4 + \tfrac{2}{x}}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite x \to \infty. Como \tfrac{3}{x^{2}}\to0 e \tfrac{2}{x}\to0, temos
\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{2 + \tfrac{3}{x^{2}}}}{4 + \tfrac{2}{x}} = \frac{\sqrt{2 + 0}}{4 + 0} = \frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2\,x^{2}+3}}{4\,x+2} = \frac{\sqrt{2}}{4}.

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