Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr).
Esse tipo de expressão envolve uma diferença entre raiz e polinômio, e costuma ser resolvido por racionalização, isto é, multiplicar e dividir pela conjugada \sqrt{x^{2}+1}+x.

Passo 2

Escrevemos a expressão original e aplicamos a racionalização:
x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr) = x\;\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+1}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 3

No numerador do quociente aparece
\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{2}-x^{2} = (x^{2}+1)-x^{2} =1,
logo a expressão vira
x\;\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 4

Para explorar o comportamento quando x\to\infty, dividimos numerador e denominador por x:
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1}.

Passo 5

Agora fazemos x\to\infty. Como \tfrac1{x^{2}}\to0, temos
\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\;\longrightarrow\;1,
portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1} = \frac{1}{1+1} = \tfrac{1}{2}.

Resposta

\lim_{x\to\infty}x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr)=\tfrac{1}{2}.

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