Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+3}{x+\sqrt[3]{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{x+\sqrt[3]{x}}.
O conteúdo aqui é limite de função no infinito que envolve termo polinomial e termo radical. Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador.

Passo 2

Entre os termos x e \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, o que cresce mais rápido quando x\to\infty é x. Então dividimos tudo por x:
\frac{2x+3}{x+\sqrt[3]{x}} = \frac{\frac{2x+3}{x}}{\frac{x+\sqrt[3]{x}}{x}} = \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{\sqrt[3]{x}}{x}} = \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + x^{-2/3}}.

Passo 3

Agora basta observar o comportamento de cada parcela quando x\to\infty:
  • \frac{3}{x}\to0
  • x^{-2/3}\to0
Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + x^{-2/3}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2.

Resposta

2

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