Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.
O conteúdo é limites no infinito envolvendo raízes; vamos usar a técnica de fatorar a maior potência de x dentro da raiz do denominador para resolver a indeterminação.

Passo 2

Dentro da raiz do denominador, fatoramos \sqrt{x}:
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} = \sqrt{x}\;\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}.

Passo 3

Reescrevendo o quociente com essa fatoração, obtemos
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}}.

Passo 4

Agora analisamos o termo dentro da raiz no denominador:
\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x} = \frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1+1/\sqrt{x}}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\;\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;0.
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\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}} = \frac{1}{\sqrt{1+0}} =1.

Resposta

1

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