Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x+\sqrt[3]{1-x^{3}}\right)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\Bigl(x+\sqrt[3]{1-x^{3}}\Bigr).
O conteúdo é limites no infinito, e vamos precisar reescrever a raiz cúbica para evidenciar o termo dominante em x e usar uma expansão assintótica.

Passo 2

Observamos que, para x grande, x^3 domina em 1 - x^3. Podemos reescrever
\sqrt[3]{1 - x^3} =\sqrt[3]{- \bigl(x^3 - 1\bigr)} =-\sqrt[3]{x^3 - 1}.
Em seguida, fatoramos x^3 dentro da raiz:
\sqrt[3]{x^3 - 1} =\sqrt[3]{x^3\Bigl(1 - \tfrac{1}{x^3}\Bigr)} =x\,\sqrt[3]{1 - \tfrac{1}{x^3}}.
Logo
\sqrt[3]{1 - x^3} =-\,x\,\sqrt[3]{1 - \tfrac{1}{x^3}}.

Passo 3

Substituindo de volta no limite, temos
x+\sqrt[3]{1 - x^3} =x - x\,\sqrt[3]{1 - \tfrac{1}{x^3}} =x\Bigl[1-\sqrt[3]{1 - \tfrac{1}{x^3}}\Bigr].
Agora basta estudar o comportamento de
1 - \sqrt[3]{1 - \tfrac{1}{x^3}}
quando x\to\infty.

Passo 4

Para \epsilon = -\tfrac{1}{x^3} pequeno, usamos a expansão binomial na forma
(1+\epsilon)^{\!1/3}\approx 1 + \tfrac{\epsilon}{3} \quad\text{quando}\quad\epsilon\to0.
Aqui \epsilon = -\tfrac{1}{x^3}, então
\sqrt[3]{1 - \tfrac{1}{x^3}} \approx 1 - \frac{1}{3x^3}.
Logo
1 - \sqrt[3]{1 - \tfrac{1}{x^3}} \approx \frac{1}{3x^3}.

Passo 5

Substituindo essa aproximação em
x\Bigl[1-\sqrt[3]{1 - \tfrac{1}{x^3}}\Bigr] \approx x\cdot\frac{1}{3x^3} =\frac{1}{3x^2},
vemos que, quando x\to\infty, \tfrac{1}{3x^2}\to0. Portanto o limite vale zero.

Resposta

0

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