Uma linha infinita uniforme de cargas com \rho_{\mathrm{L}}=-20 \mathrm{n} \mathrm{C} / \mathrm{m} está posicionada em \mathrm{z}=6 na direção do eixo y e uma lâmina infinita uniforme de cargas com \rho_{\mathrm{S}}=6 \mathrm{n} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} está posicionada em \mathrm{y}=4.
Calcule o campo elétrico \overrightarrow{\mathrm{E}} total, em coordenadas cartesianas, no ponto \mathrm{P}(3,0,3) \mathrm{m} devido às distribuições de cargas. Represente nos eixos o problema.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: calcular o campo elétrico total \overrightarrow{E} no ponto P(3,0,3) devido às duas distribuições de carga (linha infinita e lâmina infinita) e representar o problema nos eixos.
  • Dados fornecidos:
    • Linha infinita de carga com densidade linear \rho_{\mathrm{L}}=-20\\ \mathrm{nC/m} = -20\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
    • A linha está "na direção do eixo y" e "em z=6". Adotamos a interpretação natural: a linha é paralela ao eixo y e passa pelo ponto (x=0,z=6). Ou seja, a linha é o conjunto \{(x=0,y,z=6)\mid y\in\mathbb{R}\}.
    • Lâmina (plano) infinita de carga com densidade superficial \rho_{\mathrm{S}}=6\\ \mathrm{nC/m^{2}}=6\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
    • A lâmina está posicionada em y=4; portanto é o plano paralelo ao plano xz dado por y=4.
    • Ponto onde queremos \overrightarrow{E}: P(3,0,3) (ou seja x=3,\\ y=0,\\ z=3).
  • Observação sobre representação nos eixos: teremos o eixo x horizontal, o eixo y apontando para “fora/para a direita” no esquema e o eixo z vertical (pode-se escolher orientação, mas aqui usarei x para direita, y para frente e z para cima). A linha fica paralela a y em x=0,z=6. O plano está em y=4 (paralelo a xz). O ponto P está em x=3,y=0,z=3.

Passo 2

Campo elétrico devido à lâmina (plano) infinita: fórmula, direção e cálculo numérico.
  • Conceito/fórmula: para uma lâmina infinita e uniforme de densidade superficial \sigma (aqui \sigma=\rho_{\mathrm{S}}), o campo elétrico em cada lado tem magnitude
E_{\text{lâmina}}=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_{0}},â
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}). A direção é perpendicular ao plano, afastando-se do plano se \sigma>0 e apontando para o plano se \sigma<0.
  • Aplicação ao caso: \sigma=6\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}>0, o plano está em y=4. No lado com y<4 (onde está o ponto P com y=0), o campo aponta no sentido negativo de y (afastando-se do plano para baixo em y).
  • Magnitude numérica:
E_{\text{lâmina}}=\frac{6\times10^{-9}}{2\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}}.â
Faço a divisão passo a passo:
2\varepsilon_{0}=2\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}=1{,}7708375634\times10^{-11}.
E_{\text{lâmina}}=\frac{6\times10^{-9}}{1{,}7708375634\times10^{-11}}\approx 338{,}94\\ \mathrm{V/m}.â
  • Vetor campo devido à lâmina em P: como aponta para -\hat{\jmath},
\overrightarrow{E}_{\text{lâmina}} = -338{,}94\\ \hat{\jmath}\\ \mathrm{V/m}.â

Passo 3

Campo elétrico devido à linha infinita: fórmula vetorial, definição de variáveis e direção.
  • Conceito/fórmula: para uma linha infinita de densidade linear \lambda (aqui \lambda=\rho_{\mathrm{L}}), o campo em um ponto a distância radial r da linha tem magnitude
E_{\text{linha}}=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_{0} r},
e o vetor campo é
\overrightarrow{E}_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor que aponta radialmente do eixo da linha para o ponto (se \lambda>0 o campo aponta para fora; se \lambda<0 o sinal de \lambda faz o campo apontar para a linha).
  • Definir r e \hat{r} no nosso caso: a linha está em (x=0,z=6) e é paralela a y, então a distância perpendicular da linha até P(3,0,3) é a distância no plano xz entre os pontos (0,6) e (3,3).
  • Cálculo do vetor deslocamento do ponto da linha até P (no plano xz):
\Delta x = 3-0 = 3,\qquad \Delta z = 3-6 = -3.
  • Distância radial:
r=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta z)^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4{,}242640687\\ \mathrm{m}.
  • Versor radial do ponto da linha para P:
\hat{r}=\frac{1}{r}\bigl(\Delta x\,\hat{\imath}+\Delta z\,\hat{k}\bigr) =\frac{1}{3\sqrt{2}}\bigl(3\,\hat{\imath}-3\,\hat{k}\bigr) =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\hat{\imath}-\hat{k}\bigr).
(Observe que este \hat{r} aponta do eixo da linha para P.)

Passo 4

Cálculo numérico do campo da linha (componentes).
  • Valores numéricos: \lambda=\rho_{\mathrm{L}}=-20\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}=-2{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m}.
  • Calculo do fator \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}:
2\pi\varepsilon_{0}=2\pi\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}\approx 5{,}563287\dots\times10^{-11}.
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r} =\frac{-2{,}0\times10^{-8}}{(5{,}563287\times10^{-11})\cdot(3\sqrt{2})}.
Faço em duas etapas:
\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_{0}}=\frac{2{,}0\times10^{-8}}{5{,}563287\times10^{-11}}\approx 359{,}46\\ \mathrm{(V\cdot m)/m}.
Dividindo por r:
\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_{0} r}\approx\frac{359{,}46}{4{,}242640687}\approx 84{,}693\\ \mathrm{V/m}.
Incluindo o sinal de \lambda (negativo), o escalar é -84{,}693\\ \mathrm{V/m}.
  • Componentes usando \hat{r}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}-\hat{k}):
\overrightarrow{E}_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0} r}\,\hat{r} =-84{,}693\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}-\hat{k}).
\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}70710678\quad\Rightarrow\quad -84{,}693\cdot 0{,}70710678\approx -59{,}877\\ \mathrm{V/m}.
Portanto as componentes são
\overrightarrow{E}_{\text{linha}}\approx -59{,}877\\ \hat{\imath}\\\ +\\\ 0\\ \hat{\jmath}\\\ +\\\ 59{,}877\\ \hat{k}\\ \mathrm{V/m}.
(Interpretação física: linha com carga negativa atrai, então o campo em P aponta na direção do vetor que vai de P para a linha; as componentes refletem isso.)

Passo 5

Soma vetorial dos campos e resultado final.
  • Somando \overrightarrow{E}_{\text{lâmina}}â e \overrightarrow{E}_{\text{linha}}:
\overrightarrow{E}_{\text{total}}=\overrightarrow{E}_{\text{linha}}+\overrightarrow{E}_{\text{lâmina}}.â
Substituindo os valores obtidos:
\overrightarrow{E}_{\text{linha}}\approx -59{,}877\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}+59{,}877\,\hat{k}\\ \mathrm{V/m},
\overrightarrow{E}_{\text{lâmina}}=-338{,}94\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{V/m}.â
Somando componente a componente:
\overrightarrow{E}_{\text{total}}\approx -59{,}877\,\hat{\imath} \;+\; (-338{,}94)\,\hat{\jmath} \;+\; 59{,}877\,\hat{k}\\ \mathrm{V/m}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
\overrightarrow{E}_{\text{total}}\approx -59{,}9\,\hat{\imath}\\\ -\\\ 338{,}9\,\hat{\jmath}\\\ +\\\ 59{,}9\,\hat{k}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

\overrightarrow{E}_{\text{total}} \approx -59{,}9\,\hat{\imath}\;-\;338{,}9\,\hat{\jmath}\;+\;59{,}9\,\hat{k}\\ \mathrm{V/m}

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