Uma linha infinita uniforme de cargas com
está posicionada em
na direção do eixo y e uma lâmina infinita uniforme de cargas com
está posicionada em
.
Calcule o campo elétrico
total, em coordenadas cartesianas, no ponto
devido às distribuições de cargas. Represente nos eixos o problema.
Calcule o campo elétrico
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedido: calcular o campo elétrico total
no ponto devido às duas distribuições de carga (linha infinita e lâmina infinita) e representar o problema nos eixos. - Dados fornecidos:
- Linha infinita de carga com densidade linear
. - A linha está "na direção do eixo
" e "em ". Adotamos a interpretação natural: a linha é paralela ao eixo e passa pelo ponto . Ou seja, a linha é o conjunto . - Lâmina (plano) infinita de carga com densidade superficial
. - A lâmina está posicionada em
; portanto é o plano paralelo ao plano dado por . - Ponto onde queremos
: (ou seja ).
- Linha infinita de carga com densidade linear
- Observação sobre representação nos eixos: teremos o eixo
horizontal, o eixo apontando para “fora/para a direita” no esquema e o eixo vertical (pode-se escolher orientação, mas aqui usarei para direita, para frente e para cima). A linha fica paralela a em . O plano está em (paralelo a ). O ponto está em .
Passo 2
Campo elétrico devido à lâmina (plano) infinita: fórmula, direção e cálculo numérico.
- Conceito/fórmula: para uma lâmina infinita e uniforme de densidade superficial
(aqui ), o campo elétrico em cada lado tem magnitude
onde
é a permissividade do vácuo (
). A direção é perpendicular ao plano, afastando-se do plano se
e apontando para o plano se
.
- Aplicação ao caso:
, o plano está em . No lado com (onde está o ponto com ), o campo aponta no sentido negativo de (afastando-se do plano para baixo em ). - Magnitude numérica:
Faço a divisão passo a passo:
- Vetor campo devido à lâmina em
: como aponta para ,
Passo 3
Campo elétrico devido à linha infinita: fórmula vetorial, definição de variáveis e direção.
- Conceito/fórmula: para uma linha infinita de densidade linear
(aqui ), o campo em um ponto a distância radial da linha tem magnitude
e o vetor campo é
onde
é o versor que aponta radialmente do eixo da linha para o ponto (se
o campo aponta para fora; se
o sinal de
faz o campo apontar para a linha).
- Definir
e no nosso caso: a linha está em e é paralela a , então a distância perpendicular da linha até é a distância no plano entre os pontos e . - Cálculo do vetor deslocamento do ponto da linha até
(no plano ):
- Distância radial:
- Versor radial do ponto da linha para
:
(Observe que este
aponta do eixo da linha para
.)
Passo 4
Cálculo numérico do campo da linha (componentes).
- Valores numéricos:
. - Calculo do fator
:
Faço em duas etapas:
Dividindo por
:
Incluindo o sinal de
(negativo), o escalar é
.
- Componentes usando
:
Portanto as componentes são
(Interpretação física: linha com carga negativa atrai, então o campo em
aponta na direção do vetor que vai de
para a linha; as componentes refletem isso.)
Passo 5
Soma vetorial dos campos e resultado final.
- Somando
e :
Substituindo os valores obtidos:
Somando componente a componente:
- Arredondando para três algarismos significativos: