Uma linha de transmissão de 200 milhas ( 321,87 \mathrm{~km} ) tem os seguintes parâmetros em 60 Hz :
r=0,21 \Omega / \text { milhas por fase }
\quad x=0,78 \Omega / milhas por fase
b=5,42 \times 10^{-6} S / milhas por fase
a. Determine a constante de atenuação \alpha, o comprimento de onda \lambda e a velocidade de propagação da onda na linha em 60 Hz .
b. Se a linha está aberta no lado da recepção e a tensão no lado da recepção é constante em 100 kV , então determinar a tensão e a corrente no lado do envio.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (copiando os números do enunciado):\n
A linha tem comprimento l=200 milhas \;(=321{,}87\\ \mathrm{km}) e, em 60\\ \mathrm{Hz}, os parâmetros por milha por fase são:\n
r=0{,}21\\ \Omega/\text{milha},\qquad x=0{,}78\\ \Omega/\text{milha},\qquad b=5{,}42\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\text{milha}.
O que o enunciado pede:\n
(a) Determinar a constante de atenuação \alpha, o comprimento de onda \lambda e a velocidade de propagação da onda na linha em 60\\ \mathrm{Hz}.\n
(b) Se a linha está aberta no lado da recepção e a tensão no lado da recepção é constante em 100\\ \mathrm{kV}, determinar a tensão e a corrente no lado do envio.\n
Observação: aqui vamos usar o modelo de linha distribuída com impedância série por unidade de comprimento Z=r+jx e admitância shunt por unidade de comprimento Y=j\,b (assumindo perda shunt zero além da susceptância), e as fórmulas padrões de linhas de transmissão.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada símbolo):\n
  • Frequência angular: \omega=2\pi f, com f=60\\ \mathrm{Hz}.\n
  • Impedância por unidade de comprimento: \displaystyle Z=r+jx (em \Omega/\text{milha}). Aqui r é a resistência série por milha e x é a reatância série por milha ( x=\omega l num sentido físico, mas aqui já foi dado).\n
  • Admitância por unidade de comprimento: \displaystyle Y=g+jb. No enunciado g (condutância shunt) é desprezível e b é a susceptância shunt por milha, então Y=j\,b.\n
  • Constante de propagação complexa: \displaystyle \gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{Z\,Y}. A parte real \alpha é a constante de atenuação (Nepers por unidade de comprimento) e \beta é a constante de fase (radianos por unidade de comprimento).\n
  • Comprimento de onda: \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{\beta} (na mesma unidade de comprimento usada para \beta).\n
  • Velocidade de propagação: \displaystyle v=\frac{\omega}{\beta}=f\lambda.\n
  • Impedância característica: \displaystyle Z_c=\sqrt{\frac{Z}{Y}}.\n
  • Equações de extremidade da linha (colocando x=0 no envio e x=l na recepção):\n
V(0)=V(l)\operatorname{cosh}(\gamma l)+Z_c\,I(l)\operatorname{sinh}(\gamma l)
I(0)=I(l)\operatorname{cosh}(\gamma l)+\frac{1}{Z_c}V(l)\operatorname{sinh}(\gamma l)
No caso aberto em x=l temos I(l)=0, então simplifica para\n
V_s\equiv V(0)=V_R\operatorname{cosh}(\gamma l),\qquad I_s\equiv I(0)=\frac{V_R}{Z_c}\operatorname{sinh}(\gamma l).

Passo 3

Calcular \omega, Z e Y (por milha):\n
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 60=376{,}9911\\ \mathrm{rad/s}.
Z=r+jx=0{,}21 + j\,0{,}78\\ \Omega/\text{milha}.
Y=j\,b=j\,5{,}42\times 10^{-6}\\ \mathrm{S}/\text{milha}.

Passo 4

Calcular o produto Z\,Y (passo intermediário para \gamma=\sqrt{ZY}):\n
Z\,Y=(0{,}21+j0{,}78)\,j(5{,}42\times10^{-6}).
Multiplicando termo a termo:
(0{,}21+j0{,}78)j=0{,}21j + j^2 0{,}78 = 0{,}21j - 0{,}78 = -0{,}78 + j\,0{,}21.
Dividindo pelo fator escalar 1/(1/b) já incluído, mais diretamente:
Z\,Y = -4{,}2276\times10^{-6} + j\,1{,}1382\times10^{-6}.
(Detalhe do cálculo: -0{,}78\cdot 5{,}42\times10^{-6}=-4{,}2276\times10^{-6} e 0{,}21\cdot 5{,}42\times10^{-6}=1{,}1382\times10^{-6}.)

Passo 5

Calcular \gamma=\sqrt{Z\,Y}. Para \displaystyle ZY=A+jB com A=-4{,}2276\times10^{-6} e B=1{,}1382\times10^{-6}:\n
  1. Módulo e argumento de ZY:
|ZY|=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{(4{,}2276\times10^{-6})^2+(1{,}1382\times10^{-6})^2}\approx 4{,}378\times10^{-6}.
\arg(ZY)=\tan^{-1}\!\left(\frac{B}{A}\right)=\tan^{-1}\!\left(\frac{1{,}1382\times10^{-6}}{-4{,}2276\times10^{-6}}\right)\approx 164{,}96^\circ.
  1. A raiz quadrada em forma polar:
\sqrt{|ZY|}\approx\sqrt{4{,}378\times10^{-6}}=0{,}0020919, \qquad \frac{\arg(ZY)}{2}\approx 82{,}48^\circ.
  1. Voltando à forma retangular:
\gamma=\alpha+j\beta=0{,}0020919\big(\cos 82{,}48^\circ + j\sin 82{,}48^\circ\big) \approx 0{,}0002704 + j\,0{,}002073\quad\text{(por milha)}.
Portanto a constante de atenuação e a constante de fase por milha são:
\alpha=0{,}0002704\\ \text{Np/milha},\qquad \beta=0{,}002073\\ \text{rad/milha}.
Converter para por quilômetro usando 1\\ \text{milha}=1{,}60934\\ \mathrm{km}:
\alpha= \frac{0{,}0002704}{1{,}60934}=0{,}0001680\\ \text{Np/km}, \qquad \beta= \frac{0{,}002073}{1{,}60934}=0{,}001288\\ \text{rad/km}.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda \lambda:\n
Usando \lambda=\dfrac{2\pi}{\beta}. Se usarmos \beta em \text{rad/milha} obtemos \lambda em milhas:
\lambda=\frac{2\pi}{0{,}002073}= \frac{6{,}283185}{0{,}002073}\approx 3031\\ \text{milhas}.
Converter para km:
\lambda=3031\\ \text{milhas}\times 1{,}60934\\ \mathrm{km/milha}\approx 4878\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Calcular a velocidade de propagação v:\n
v=\frac{\omega}{\beta}=\frac{2\pi f}{\beta}=\frac{376{,}9911}{0{,}002073}\\ \text{milhas/s}\approx 181{,}860\\ \text{milhas/s}.
Converter para \mathrm{km/s}:
v\approx 181{,}860\times 1{,}60934\approx 292{,}680\\ \mathrm{km/s}.
Comentário: esse valor é razoavelmente próximo da velocidade da luz no vácuo (c≈299792 km/s), típico de linhas de transmissão.

Passo 8

Resumo numérico parcial (para referência antes de resolver a parte b):\n
\alpha\approx 0{,}0002704\\ \text{Np/milha}=0{,}0001680\\ \text{Np/km},
\beta\approx 0{,}002073\\ \text{rad/milha}=0{,}001288\\ \text{rad/km},
\lambda\approx 3031\\ \text{milhas}=4878\\ \mathrm{km},
v\approx 181{,}860\\ \text{milhas/s}=292{,}680\\ \mathrm{km/s}.

Passo 9

Agora parte (b): equações com a extremidade de recepção aberta. Relembrando a fórmula útil quando I(l)=0:\n
V_s=V_R\operatorname{cosh}(\gamma l),\qquad I_s=\frac{V_R}{Z_c}\operatorname{sinh}(\gamma l).
Precisamos calcular Z_c=\sqrt{Z/Y}, \gamma l, \operatorname{cosh}(\gamma l) e \operatorname{sinh}(\gamma l), e então aplicar as fórmulas. Aqui l=200 milhas e V_R=100\\ \mathrm{kV}=100000\\ \mathrm{V}.

Passo 10

Calcular a impedância característica \displaystyle Z_c=\sqrt{\frac{Z}{Y}}:\n
\frac{Z}{Y}=\frac{0{,}21+j0{,}78}{j\,5{,}42\times10^{-6}}.
Multiplicando numerador e denominador por -j (ou fazendo a divisão direta) obtemos:
\frac{Z}{Y}=\frac{0{,}78 - j0{,}21}{5{,}42\times10^{-6}} \approx 143{,}895 - j\,38{,}749.
Tomando a raiz quadrada em forma polar (módulo ≈ 1{,}4903\times10^{5}, ângulo ≈ -15{,}04^\circ), a raiz tem módulo ≈ 386{,}1 e ângulo ≈ -7{,}52^\circ. Voltando para retangular:
Z_c\approx 382{,}8 - j\,50{,}5\\ \Omega.
Módulo e fase:
|Z_c|\approx 388{,}4\\ \Omega,\qquad \angle Z_c\approx -7{,}52^\circ.

Passo 11

Calcular \gamma l e as funções hiperbólicas complexas:\n
\gamma=0{,}0002704 + j\,0{,}002073\\ \text{(por milha)},\qquad l=200\\ \text{milhas}.
\gamma l = (0{,}0002704\times 200) + j(0{,}002073\times200)=0{,}05408 + j\,0{,}4146.
Usar identidades:
\operatorname{cosh}(a+jb)=\operatorname{cosh} a\cos b + j\,\operatorname{sinh} a\sin b,
\operatorname{sinh}(a+jb)=\operatorname{sinh} a\cos b + j\,\operatorname{cosh} a\sin b.
Com a=0{,}05408 e b=0{,}4146 obtemos (calculando \operatorname{cosh} a, \operatorname{sinh} a, \cos b, \sin b):\n
\operatorname{cosh} a\approx 1{,}0014623,\quad \operatorname{sinh} a\approx 0{,}054106,
\cos b\approx 0{,}915281,\quad \sin b\approx 0{,}402733.
Portanto
\operatorname{cosh}(\gamma l)\approx 1{,}0014623\cdot0{,}915281 + j(0{,}054106\cdot0{,}402733) \approx 0{,}916688 + j\,0{,}021792,
\operatorname{sinh}(\gamma l)\approx 0{,}054106\cdot0{,}915281 + j(1{,}0014623\cdot0{,}402733) \approx 0{,}049548 + j\,0{,}403317.

Passo 12

Calcular a tensão no lado do envio V_s:\n
V_s=V_R\operatorname{cosh}(\gamma l)=100000\cdot(0{,}916688 + j\,0{,}021792)\\ \mathrm{V}.
Assim
V_s\approx 91668{,}8 + j\,2179{,}2\\ \mathrm{V}.
Magnitude e ângulo:
|V_s|=\sqrt{91668{,}8^2+2179{,}2^2}\approx 91691\\ \mathrm{V}=91{,}691\\ \mathrm{kV},
\angle V_s=\tan^{-1}\!\left(\frac{2179{,}2}{91668{,}8}\right)\approx 1{,}36^\circ.

Passo 13

Calcular \dfrac{V_R}{Z_c} (pré-fator para I_s):\n
\frac{V_R}{Z_c}=\frac{100000}{382{,}8 - j\,50{,}5}.
Fazendo a divisão complexa:
\frac{100000}{382{,}8 - j50{,}5}\approx 256{,}76 + j\,33{,}91\\ \mathrm{A}.

Passo 14

Calcular a corrente no lado do envio I_s:\n
I_s=\frac{V_R}{Z_c}\operatorname{sinh}(\gamma l)=(256{,}76 + j\,33{,}91)\cdot(0{,}049548 + j\,0{,}403317).
Multiplicando (detalhe: (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc) ):
I_s\approx -0{,}959 + j\,105{,}222\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_s|=\sqrt{(-0{,}959)^2 + (105{,}222)^2}\approx 105{,}22\\ \mathrm{A},
\angle I_s=\tan^{-1}\!\left(\frac{105{,}222}{-0{,}959}\right)\approx 90{,}52^\circ.
(Observação: o ângulo está ligeiramente maior que 90^\circ porque a parte real é negativa e pequena em módulo comparada à parte imaginária positiva.)

Passo 15

Interpretação e checagem rápida: a linha aberta no fim faz com que quase toda a corrente seja reativa (ângulo cerca de 90^\circ), o módulo da tensão no envio é um pouco menor que no recebimento devido à forma complexa de \operatorname{cosh}(\gamma l) para este comprimento e choques de fase. Os valores apresentam atenuação muito pequena (α pequeno), e velocidade próxima à da luz — tudo consistente com linhas de transmissão de alta tensão.

Resposta

(a) \alpha=0{,}0002704\\ \text{Np/milha}=0{,}0001680\\ \text{Np/km},\quad \lambda=3031\\ \text{milhas}=4878\\ \mathrm{km},\quad v=181{,}860\\ \text{milhas/s}=292{,}680\\ \mathrm{km/s}.\n
(b) V_s\approx 91{,}691\\ \mathrm{kV}\angle 1{,}36^\circ (retangular V_s\approx 91668{,}8 + j\,2179{,}2\\ \mathrm{V}),\quad I_s\approx 105{,}22\\ \mathrm{A}\angle 90{,}52^\circ (retangular I_s\approx -0{,}959 + j\,105{,}222\\ \mathrm{A}).

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