Uma linha de transmissão de 200 milhas (
) tem os seguintes parâmetros em 60 Hz :
milhas por fase
milhas por fase
a. Determine a constante de atenuação
, o comprimento de onda
e a velocidade de propagação da onda na linha em 60 Hz .
b. Se a linha está aberta no lado da recepção e a tensão no lado da recepção é constante em 100 kV , então determinar a tensão e a corrente no lado do envio.
a. Determine a constante de atenuação
b. Se a linha está aberta no lado da recepção e a tensão no lado da recepção é constante em 100 kV , então determinar a tensão e a corrente no lado do envio.
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (copiando os números do enunciado):\n
A linha tem comprimento milhas
e, em
, os parâmetros por milha por fase são:\n
A linha tem comprimento
O que o enunciado pede:\n
(a) Determinar a constante de atenuação , o comprimento de onda
e a velocidade de propagação da onda na linha em
.\n
(b) Se a linha está aberta no lado da recepção e a tensão no lado da recepção é constante em , determinar a tensão e a corrente no lado do envio.\n
Observação: aqui vamos usar o modelo de linha distribuída com impedância série por unidade de comprimento e admitância shunt por unidade de comprimento
(assumindo perda shunt zero além da susceptância), e as fórmulas padrões de linhas de transmissão.
(a) Determinar a constante de atenuação
(b) Se a linha está aberta no lado da recepção e a tensão no lado da recepção é constante em
Observação: aqui vamos usar o modelo de linha distribuída com impedância série por unidade de comprimento
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada símbolo):\n
- Frequência angular:
, com .\n - Impedância por unidade de comprimento:
(em ). Aqui é a resistência série por milha e é a reatância série por milha ( num sentido físico, mas aqui já foi dado).\n - Admitância por unidade de comprimento:
. No enunciado (condutância shunt) é desprezível e é a susceptância shunt por milha, então .\n - Constante de propagação complexa:
. A parte real é a constante de atenuação (Nepers por unidade de comprimento) e é a constante de fase (radianos por unidade de comprimento).\n - Comprimento de onda:
(na mesma unidade de comprimento usada para ).\n - Velocidade de propagação:
.\n - Impedância característica:
.\n - Equações de extremidade da linha (colocando
no envio e na recepção):\n
No caso aberto em
temos
, então simplifica para\n
Passo 3
Calcular
,
e
(por milha):\n
Passo 4
Calcular o produto
(passo intermediário para
):\n
Multiplicando termo a termo:
Dividindo pelo fator escalar
já incluído, mais diretamente:
(Detalhe do cálculo:
e
.)
Passo 5
Calcular
. Para
com
e
:\n
- Módulo e argumento de
:
- A raiz quadrada em forma polar:
- Voltando à forma retangular:
Portanto a constante de atenuação e a constante de fase por milha são:
Converter para por quilômetro usando
:
Passo 6
Calcular o comprimento de onda
:\n
Usando . Se usarmos
em
obtemos
em milhas:
Usando
Converter para km:
Passo 7
Calcular a velocidade de propagação
:\n
Converter para
:
Comentário: esse valor é razoavelmente próximo da velocidade da luz no vácuo (c≈299792 km/s), típico de linhas de transmissão.
Passo 8
Resumo numérico parcial (para referência antes de resolver a parte b):\n
Passo 9
Agora parte (b): equações com a extremidade de recepção aberta. Relembrando a fórmula útil quando
:\n
Precisamos calcular
,
,
e
, e então aplicar as fórmulas. Aqui
milhas e
.
Passo 10
Calcular a impedância característica
:\n
Multiplicando numerador e denominador por
(ou fazendo a divisão direta) obtemos:
Tomando a raiz quadrada em forma polar (módulo ≈
, ângulo ≈
), a raiz tem módulo ≈
e ângulo ≈
. Voltando para retangular:
Módulo e fase:
Passo 11
Calcular
e as funções hiperbólicas complexas:\n
Usar identidades:
Com
e
obtemos (calculando
,
,
,
):\n
Portanto
Passo 12
Calcular a tensão no lado do envio
:\n
Assim
Magnitude e ângulo:
Passo 13
Calcular
(pré-fator para
):\n
Fazendo a divisão complexa:
Passo 14
Calcular a corrente no lado do envio
:\n
Multiplicando (detalhe:
):
Magnitude e ângulo:
(Observação: o ângulo está ligeiramente maior que
porque a parte real é negativa e pequena em módulo comparada à parte imaginária positiva.)
Passo 15
Interpretação e checagem rápida: a linha aberta no fim faz com que quase toda a corrente seja reativa (ângulo cerca de
), o módulo da tensão no envio é um pouco menor que no recebimento devido à forma complexa de
para este comprimento e choques de fase. Os valores apresentam atenuação muito pequena (α pequeno), e velocidade próxima à da luz — tudo consistente com linhas de transmissão de alta tensão.
Resposta
(a)
\n
(b) (retangular
),\quad
(retangular
).
(b)