Uma linha de transmissão HVDC ideal de 600 kV e 800 km de comprimento está inicialmente desenergizada. No instante t=0 \mathrm{~s}, a linha é energizada por uma fonte ideal. Considere os seguintes dados da linha:
  • Indutância por unidade de comprimento: \mathbf{L = 1 , 3 4 3 ~ m H / k m}
  • Capacitância por unidade de comprimento: \mathbf{C = 8 , 5 ~} \mathbf{n F} / \mathbf{k m}
  • Resistência da fonte: \mathbf{R}=\mathbf{0} \Omega (ideal)
  • Carga resistiva conectada ao final da linha: R_{c}=802,5 \Omega
Com base nessas informações, determine:
a) A impedância natural da linha ZO . (0,75 pts)
b) A velocidade de propagação v das ondas eletromagnéticas na linha. (0,75 pts)
c) A tensão no receptor U 2 , no instante t=\frac{3 \cdot l}{v}, considerando o comportamento de ondas viajantes e as reflexões causadas pelo desajuste entre a impedância da carga e a impedância natural da linha. (1,0 pto)

Passo 1

O enunciado descreve uma linha de transmissão HVDC ideal de comprimento l=800~\text{km}, indutância por km L'=1,343~\text{mH/km} e capacitância por km C'=8,5~\text{nF/km}. A fonte é ideal ( R_s=0) e a carga resistiva no fim da linha é R_c=802{,}5~\Omega. Pedem:
a) a impedância característica \!Z_0 da linha;
b) a velocidade de propagação v;
c) a tensão no receptor U_2 em t=3\,l/v, levando em conta as reflexões na carga e na fonte.

Passo 2

Para achar a impedância característica usamos
Z_0=\sqrt{\frac{L'}{C'}}\,.
Convertendo unidades para H/m e F/m:
L' = 1{,}343~\text{mH/km} = 1{,}343\times10^{-6}~\text{H/m}, \quad C' = 8{,}5~\text{nF/km} = 8{,}5\times10^{-12}~\text{F/m}.
Logo,
Z_0 = \sqrt{\frac{1{,}343\times10^{-6}}{8{,}5\times10^{-12}}} = \sqrt{1{,}5802\times10^5} \approx 3,975\times10^2~\Omega.

Passo 3

A velocidade de propagação é
v = \frac{1}{\sqrt{L'\,C'}}\,.
Usando os mesmos L' e C' de cima,
v = \frac{1}{\sqrt{1{,}343\times10^{-6}\,\cdot\,8{,}5\times10^{-12}}} \approx 9{,}36\times10^7~\text{m/s}.

Passo 4

Para calcular U_2 em t=3\,l/v usamos o método de ondas viajantes. O coeficiente de reflexão na carga é
\Gamma_L = \frac{R_c - Z_0}{R_c + Z_0} = \frac{802{,}5 - 397{,}5}{802{,}5 + 397{,}5} = 0{,}3375.
Na fonte ideal ( R_s=0), o coeficiente de reflexão é
\Gamma_s = \frac{R_s - Z_0}{R_s + Z_0} = -1.
A amplitude do pulso incidente gerado pela fonte é
U_{\text{inc}} = U_{\text{fonte}}\;\frac{Z_0}{R_s + Z_0} = 600~\text{kV}.

Passo 5

Em t=l/v chega ao fim da linha o pulso de 600~\text{kV}, que produz na carga
U_2^{(1)} = U_{\text{inc}}\,(1+\Gamma_L) =600\,(1+0{,}3375)=802{,}5~\text{kV}.
Em t=2\,l/v essa reflexão volta à fonte, inverte de sinal ( \Gamma_s=-1) e retorna à carga chegando em t=3\,l/v com amplitude
U_{\text{inc}}\,\Gamma_L\,\Gamma_s =600\cdot0{,}3375\cdot(-1)=-202{,}5~\text{kV}.
Na chegada desse segundo pulso a carga ainda “vê” o nível de 802{,}5~\text{kV} e então soma o pulso de -202{,}5~\text{kV}, ficando
U_2(t=3\,l/v)=802{,}5 - 202{,}5 = 600~\text{kV}.

Resposta

a) Z_0\approx3,975\times10^2~\Omega.
b) v\approx9,36\times10^7~\text{m/s}.
c) U_2(t=3\,l/v)=600~\text{kV}.

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