Uma linha de transmissão no ar tem impedância característica: \mathbf{Z}_{\mathbf{0}}=\mathbf{7 0} \boldsymbol{\Omega} e constante de fase: \boldsymbol{\beta}=\mathbf{3} \mathbf{~ r a d} / \mathbf{m}. à frequência de 100 MHz . Determine:
(a) a indutância por metro L ;
(b) a capacitância por metro C ;
(c) a velocidade de propagação.

Passo 1

O enunciado dá uma linha de transmissão no ar com as seguintes informações e pede (a), (b) e (c).
Dados fornecidos:
Z_0 = 70\\ \Omega
\beta = 3\\ \text{rad/m}
f = 100\\ \text{MHz}
Perguntas:
(a) Determinar a indutância por metro L.
(b) Determinar a capacitância por metro C.
(c) Determinar a velocidade de propagação v.

Passo 2

Vamos usar as fórmulas padrão para uma linha de transmissão praticamente sem perdas (linha no ar, impedância característica real), que são:
Z_0 = \sqrt{\dfrac{L}{C}}
\beta = \omega\sqrt{LC}
Aqui:
  • Z_0 é a impedância característica (em \Omega).
  • L é a indutância por unidade de comprimento (em H/m).
  • C é a capacitância por unidade de comprimento (em F/m).
  • \beta é a constante de fase (em rad/m).
  • \omega é a pulsação angular (em rad/s) e vale \omega = 2\pi f.
Essas duas equações relacionam L e C com os dados Z_0 e \beta. Vou mostrar como isolar L e C de forma direta para calcular numericamente.

Passo 3

A partir de Z_0 = \sqrt{L/C} obtemos
\frac{L}{C} = Z_0^2.
A partir de \beta = \omega\sqrt{LC} obtemos
\sqrt{LC} = \frac{\beta}{\omega} \quad\Rightarrow\quad LC = \left(\frac{\beta}{\omega}\right)^2.
Queremos L e C isolados. Uma forma prática é usar \sqrt{LC}=\beta/\omega junto com Z_0=\sqrt{L/C}. Multiplicando as duas equações (especificamente Z_0 por \sqrt{LC}) dá:
L = Z_0\sqrt{LC} = Z_0\cdot\frac{\beta}{\omega}.
De modo análogo, dividindo \sqrt{LC} por Z_0 obtemos:
C = \frac{1}{Z_0}\sqrt{LC} = \frac{1}{Z_0}\cdot\frac{\beta}{\omega}.
Essas fórmulas são muito úteis porque evitam resolver um sistema quadrático: basta calcular \beta/\omega e multiplicar por Z_0 ou por 1/Z_0.

Passo 4

Calcular a pulsação angular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 100\cdot10^{6}\\ \text{Hz} = 2\pi\cdot10^{8}\\ \text{rad/s}.
Numericamente:
\omega \approx 6,283185307\times10^{8}\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\beta}{\omega}:
\frac{\beta}{\omega} = \frac{3}{6,283185307\times10^{8}} \approx 4,774648293\times10^{-9}\\ \text{s/m}.
(Unidade física de \sqrt{LC} é s/m, coerente.)

Passo 6

Calcular L usando L = Z_0\cdot\frac{\beta}{\omega}:
L = 70\cdot 4,774648293\times10^{-9}\\ \text{H/m}
L \approx 3,342253804\times10^{-7}\\ \text{H/m}.
Convertendo para unidades mais amigáveis:
L \approx 3,342\times10^{-7}\\ \text{H/m} = 334,2\\ \text{nH/m}.

Passo 7

Calcular C usando C = \dfrac{1}{Z_0}\cdot\frac{\beta}{\omega}:
C = \frac{1}{70}\cdot 4,774648293\times10^{-9}\\ \text{F/m}
C \approx 6,820926133\times10^{-11}\\ \text{F/m}.
Convertendo para pF/m:
C \approx 6,821\times10^{-11}\\ \text{F/m} = 68,21\\ \text{pF/m}.

Passo 8

Calcular a velocidade de propagação v. Para uma onda harmónica a velocidade de fase é
v = \frac{\omega}{\beta}.
Usando os números:
v = \frac{6,283185307\times10^{8}}{3} \approx 2,094395102\times10^{8}\\ \text{m/s}.
Podemos comparar com a velocidade da luz c\approx 3,00\times10^{8}\\ \text{m/s}:
\frac{v}{c} \approx \frac{2,094395102\times10^{8}}{3,00\times10^{8}} \approx 0,698.
Ou seja, a onda se propaga a cerca de 69,8\% da velocidade da luz no vácuo — coerente com uma linha no ar que tem dimensão e distribuição L,C tais que v<c.

Resposta

L \approx 3,342\times10^{-7}\\ \text{H/m} = 334,2\\ \text{nH/m}
C \approx 6,821\times10^{-11}\\ \text{F/m} = 68,21\\ \text{pF/m}
v \approx 2,094\times10^{8}\\ \text{m/s} \;(\approx 0,698\,c)

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