Um líquido incompressível escoa no interior de um duto de seção circular de raio
. A distribuição de velocidades em uma seção é dada pela expressão
], onde
é a distância radial tomada desde o centro da seção. Mostre o gráfico
versus
. Deduza expressões para a vazão de massa e para a velocidade média do escoamento, em termos de
e a densidade do líquido
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um líquido que não pode ser comprimido (incompressível) fluindo dentro de um tubo circular com raio $ R $. A velocidade do líquido em qualquer ponto da seção do tubo depende da distância $ r $ do centro e é dada por:
Aqui, $ w_{0} $ é a velocidade máxima no centro do tubo. Nossa missão é:
- Desenhar o gráfico de $ \frac{w}{w_{0}} $ versus $ \frac{r}{R} $.
- Encontrar fórmulas para a vazão de massa e para a velocidade média do fluxo, usando $ w_{0} $, $ R $ e a densidade do líquido $ \rho $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre perfis de velocidade em tubos e integrais para calcular vazões.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico de $ \frac{w}{w_{0}} $ em função de $ \frac{r}{R} $. A expressão que temos é:
Isso significa que, no centro do tubo ($ r = 0 $), $ \frac{w}{w_{0}} = 1 $, ou seja, a velocidade é máxima. Conforme nos afastamos do centro, $ r $ aumenta e $ \frac{w}{w_{0}} $ diminui de forma quadrática até chegar a zero na parede do tubo ($ r = R $).
Portanto, o gráfico será uma parábola invertida começando em $ (0,1) $ e terminando em $ (1,0) $.

Passo 3
Agora, vamos calcular a vazão de massa ($ \dot{m} $). A vazão de massa é a quantidade de massa que passa por uma seção do tubo por unidade de tempo e é dada por:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do líquido,
- $ w $ é a velocidade local,
- $ A $ é a área da seção transversal do tubo.
Como o tubo é circular, vamos usar coordenadas polares para integrar. A área diferencial em coordenadas polares é $ dA = 2\pi r , dr $.
Substituindo $ w = w_{0}\left[1 - \left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right] $, temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Calculando a integral:
Substituindo de volta na expressão da vazão de massa:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade média ($ \overline{w} $) do escoamento. A velocidade média é definida como a vazão volumétrica dividida pela área da seção $ A
Q $):
Já calculamos essa integral anteriormente (sem o $ \rho $) e ela resultou em $ \frac{\pi R^{2}}{2} w_{0} $.
Então, a velocidade média é:
Resposta
A vazão de massa é $ \dot{m} = \frac{\pi \rho w_{0} R^{2}}{2} $ e a velocidade média do escoamento é $ \overline{w} = \frac{w_{0}}{2} $.