A localização de uma partícula é medida e especificada como ocorrendo exatamente em x=0, com incerteza nula. Como isso afeta nossa habilidade em medir sua componente da velocidade na direção y ?

Passo 1

O enunciado diz que a posição da partícula foi medida e especificada como ocorrendo exatamente em x=0, ou seja, a incerteza em x é nula ( \Delta x=0). A pergunta é: como isso afeta nossa habilidade de medir a componente da velocidade na direção y (isto é, v_y)? Dados relevantes que temos explicitamente: a medição exata de x (posição no eixo x) e o interesse na componente de velocidade ao longo do eixo y.

Passo 2

Hora de conectar isso com os operadores quânticos. Em mecânica quântica a componente da velocidade em y para uma partícula livre está ligada ao momento em y por
v_y=\frac{p_y}{m},
onde m é a massa e p_y é o operador momento na direção y. O operador posição x age por multiplicação (ele multiplica a função de onda por x) e o operador momento em y age como derivada:
p_y = -i\hbar\frac{\partial}{\partial y}.
Vou mostrar que x e p_y “se dão bem”: calcule o comutador [x,p_y]. Para qualquer função de onda \psi(x,y),
x\,p_y\psi = x\left(-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial y}\right) = -i\hbar\,x\,\frac{\partial\psi}{\partial y},
e
p_y\,x\psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial y}\big(x\psi\big) = -i\hbar\,x\,\frac{\partial\psi}{\partial y},
porque x é independente de y (a derivada de x em relação a y é zero). Subtraindo, obtemos
[x,p_y]=0.

Passo 3

Agora usemos o princípio de incerteza generalizado (desenvolvido por Robertson): para dois observáveis A e B,
\Delta A\,\Delta B \ge \frac{1}{2}\big|\langle[A,B]\rangle\big|.
Aplicando isso a A=x e B=p_y e usando [x,p_y]=0, obtemos
\Delta x\,\Delta p_y \ge 0.
Isso significa que não existe uma restrição fundamental (do tipo “produto mínimo não nulo”) que force \Delta p_y a ser grande quando \Delta x é pequena. Em outras palavras: conhecer x com precisão não impõe, por princípios quânticos, uma incerteza mínima em p_y.

Passo 4

Para ficar bem concreto: é possível (ao menos em idealização) ter estados que têm posição bem definida em x e momento bem definido em y. Um exemplo ideal (não normalizável, mas que serve de guia) é
\psi(x,y)=\delta(x)\,e^{ik_y y}.
Essa função tem x=0 exatamente e é autofunção de p_y com autovalor \hbar k_y, portanto p_y (e então v_y) é perfeitamente determinado. Para um exemplo fisicamente normalizável, tome uma gaussiana muito estreita em x e um plano de onda em y:
\psi(x,y)\propto e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\,e^{ik_y y}.
Ao fazer \sigma\to 0 estamos aproximando a condição “ x bem conhecido”; ao mesmo tempo o termo e^{ik_y y} dá um p_y bem definido. Assim, podemos aproximar arbitrariamente bem um estado com \Delta x muito pequeno e \Delta p_y muito pequeno simultaneamente.

Passo 5

Interpretação física e caveats práticos (sem teoria pesada): medir x exatamente vai causar um grande espalhamento no momento na direção x ( p_x) — porque [x,p_x]=i\hbar e daí \Delta x\,\Delta p_x\gtrsim\hbar/2. Mas isso é sobre a componente x do momento. A componente p_y não é afetada por esse princípio ligado a x. Logo, a medição precisa de x não prejudica, por princípio, a medição de v_y. Obs.: em sistemas mais complicados (interações, medições práticas, instrumentos reais) sempre há limitações experimentais, mas não há limitação fundamental da mecânica quântica entre x e p_y.

Resposta

A medição de x em x=0 não afeta nossa habilidade de medir v_y: como [x,p_y]=0 não existe um limite de incerteza fundamental entre x e p_y, portanto, em princípio, podemos determinar a componente de velocidade em y com precisão arbitrária.

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