Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
f) f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2 + 2*x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como identificar seus comportamentos extremos. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e então determinar a natureza de cada ponto usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma variável, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Isso nos dá:
Mas nunca é zero, então precisamos que os outros fatores sejam zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
No ponto , essas derivadas se tornam:

Passo 5

O próximo passo seria calcular o determinante da matriz Hessiana . No nosso caso:
Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que não conseguimos determinar apenas com esse teste se o ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 6

Dado que o teste é inconclusivo, vamos analisar a função de outra maneira. Observando , percebemos que o expoente pode ser reescrito completando o quadrado para :
Então, a função fica:
Essa forma mostra que a função tem um máximo no ponto onde é mínimo, ou seja, no ponto .

Resposta

O ponto é um máximo relativo da função . Não há pontos de sela.

Exercícios relacionados