1. Um longo condutor cilindro, de raio interno a e raio externo b, carrega uma densidade de corrente uniforme \vec{J}=J \hat{z}.
(a) Encontre o campo magnético dentro, no meio e fora do fio condutor.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas extraídas do próprio enunciado):
  • Há um condutor longo e cilíndrico, com raio interno a e raio externo b.
  • A corrente está distribuída no volume do material entre r=a e r=b com densidade de corrente uniforme \vec{J}=J\,\hat{z}.
  • O sistema é longo (próximo ao caso infinito), portanto efeitos de extremidade são desprezíveis.
O que a questão pede:
  • Determinar o campo magnético \vec{B} nas três regiões radiais:
    1. dentro do furo central: r<a;
    2. dentro do corpo do fio (no “meio”): a<r<b;
    3. fora do fio: r>b.
Aqui r é a distância radial do eixo do cilindro (coordenada cilíndrica).

Passo 2

Razões físicas e escolha do método (explicação passo a passo do raciocínio que vou usar).
  • O problema tem simetria cilíndrica: se girar o sistema em torno do eixo, nada muda; se deslocar ao longo do eixo ( z) nada muda. Dessa simetria decorre que o campo magnético, se existir, só pode ter componente azimutal (no sentido \hat\varphi) e depende apenas de r. Ou seja: \vec{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat\varphi.Explicação curta: uma componente radial ou axial violaria a invariância por rotação/traslação; a única direção compatível é a de circulação ao redor do eixo.
  • Para calcular B_\varphi(r) usamos a Lei de Ampère na forma integral: \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},onde I_{\text{enc}} é a corrente atravessando a superfície limitada pelo caminho de integração (a corrente “encapsulada” pelo laço).
  • Escolho um laço amperiano circular de raio r, centrado no eixo, no plano transversal. Por simetria \vec{B} é tangente ao laço e tem módulo constante ao longo do laço, então o membro esquerdo vira B_\varphi(r)\cdot 2\pi r.

Passo 3

Região r<a (dentro do furo central).
  • Aqui não há material condutor entre o eixo e r, logo não há corrente cortando a superfície do laço (a corrente está apenas para a\le s\le b). Portanto I_{\text{enc}}=0.
  • Pela Lei de Ampère: B_\varphi(r)\cdot 2\pi r=\mu_0\cdot 0=0 \quad\Rightarrow\quad B_\varphi(r)=0.
  • Conclusão vetorial: \vec{B}(r)=\vec{0}\quad\text{para }r<a.

Passo 4

Região a<r<b (dentro do corpo do condutor, a “casca” com corrente).
  • Agora o laço de raio r engloba apenas a corrente que está na região entre s=a e s=r. Para obter I_{\text{enc}} fazemos a integral da densidade de corrente sobre a área da secção cilíndrica interna até r.
  • Em coordenadas cilíndricas a área de um anel de raio s e espessura ds é dA=2\pi s\, ds. Como \vec{J}=J\,\hat{z} é uniforme, a corrente dentro do raio r é I_{\text{enc}}=\int_{s=a}^{r} J\,dA=\int_{s=a}^{r} J\,(2\pi s\, ds).
  • Calcule a integral: I_{\text{enc}}=2\pi J\int_{a}^{r} s\,ds=2\pi J\left[\tfrac{1}{2}s^2\right]_{a}^{r}= \pi J\,(r^2-a^2).
  • Aplicando Ampère com \oint \vec B\cdot d\vec\ell = B_\varphi(r)\,2\pi r temos B_\varphi(r)\,2\pi r=\mu_0 I_{\text{enc}}=\mu_0 \pi J (r^2-a^2).
  • Isolando B_\varphi(r): B_\varphi(r)=\frac{\mu_0 \pi J (r^2-a^2)}{2\pi r}=\frac{\mu_0 J (r^2-a^2)}{2r}.
  • Vetorialmente: \vec{B}(r)=\frac{\mu_0 J (r^2-a^2)}{2r}\,\hat\varphi\quad\text{para }a<r<b.
  • Comentário verificatório: quando r\to a^+ o numerador vai para zero, então B\to 0 de forma contínua na fronteira interna (bom sinal físico).

Passo 5

Região r>b (fora do fio).
  • O laço de raio r>b engloba toda a corrente que passa pelo condutor; calculamos a corrente total I integrando de s=a até s=b: I=\int_{s=a}^{b} J\,(2\pi s\, ds)=\pi J (b^2-a^2).
  • Aplicando Ampère: B_\varphi(r)\,2\pi r=\mu_0 I=\mu_0 \pi J (b^2-a^2).
  • Logo B_\varphi(r)=\frac{\mu_0 \pi J (b^2-a^2)}{2\pi r}=\frac{\mu_0 J (b^2-a^2)}{2r}.
  • Vetorialmente: \vec{B}(r)=\frac{\mu_0 J (b^2-a^2)}{2r}\,\hat\varphi\quad\text{para }r>b.
  • Observação: esta forma externa pode ser reescrita em termos da corrente total I como \vec{B}(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat\varphi,que é a expressão esperada para um fio com corrente total I.

Passo 6

Checagens rápidas e caso limite útil para memorização.
  • Continuidade em r=b: substituindo r=b nas expressões internas e externas dá o mesmo valor, então \vec B é contínuo em r=b.
  • Caso limite a\to 0 (fio maciço, sem furo): a expressão para a<r<b reduz-se a B_\varphi(r)=\frac{\mu_0 J r}{2},que é a forma conhecida para um condutor sólido com densidade de corrente uniforme.
  • Lembrete de direção: se \vec J aponta para +\hat z, o campo \vec B circula no sentido dado pela regra da mão direita (vetor em \hat\varphi positivo).

Passo 7

Resumo final pronto para consulta rápida (vou deixar as fórmulas limpas abaixo). Força aí — essa questão é das clássicas: simetria + Ampère e sai rápido na prova se souber este esquema.

Resposta

\vec{B}(r)=\vec{0}\quad\text{para }r<a\n
\vec{B}(r)=\dfrac{\mu_{0}J\left(r^{2}-a^{2}\right)}{2r}\,\hat\varphi\quad\text{para }a<r<b\n
\vec{B}(r)=\dfrac{\mu_{0}J\left(b^{2}-a^{2}\right)}{2r}\,\hat\varphi\quad\text{para }r>b