- Um longo condutor cilindro, de raio interno
e raio externo
, carrega uma densidade de corrente uniforme
.
(a) Encontre o campo magnético dentro, no meio e fora do fio condutor.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas extraídas do próprio enunciado):
- Há um condutor longo e cilíndrico, com raio interno
e raio externo . - A corrente está distribuída no volume do material entre
e com densidade de corrente uniforme . - O sistema é longo (próximo ao caso infinito), portanto efeitos de extremidade são desprezíveis.
O que a questão pede:
- Determinar o campo magnético
nas três regiões radiais: - dentro do furo central:
; - dentro do corpo do fio (no “meio”):
; - fora do fio:
.
- dentro do furo central:
Aqui
é a distância radial do eixo do cilindro (coordenada cilíndrica).
Passo 2
Razões físicas e escolha do método (explicação passo a passo do raciocínio que vou usar).
- O problema tem simetria cilíndrica: se girar o sistema em torno do eixo, nada muda; se deslocar ao longo do eixo (
) nada muda. Dessa simetria decorre que o campo magnético, se existir, só pode ter componente azimutal (no sentido ) e depende apenas de . Ou seja: Explicação curta: uma componente radial ou axial violaria a invariância por rotação/traslação; a única direção compatível é a de circulação ao redor do eixo. - Para calcular
usamos a Lei de Ampère na forma integral: onde é a corrente atravessando a superfície limitada pelo caminho de integração (a corrente “encapsulada” pelo laço). - Escolho um laço amperiano circular de raio
, centrado no eixo, no plano transversal. Por simetria é tangente ao laço e tem módulo constante ao longo do laço, então o membro esquerdo vira .
Passo 3
Região
(dentro do furo central).
- Aqui não há material condutor entre o eixo e
, logo não há corrente cortando a superfície do laço (a corrente está apenas para ). Portanto - Pela Lei de Ampère:
- Conclusão vetorial:
Passo 4
Região
(dentro do corpo do condutor, a “casca” com corrente).
- Agora o laço de raio
engloba apenas a corrente que está na região entre e . Para obter fazemos a integral da densidade de corrente sobre a área da secção cilíndrica interna até . - Em coordenadas cilíndricas a área de um anel de raio
e espessura é . Como é uniforme, a corrente dentro do raio é - Calcule a integral:
- Aplicando Ampère com
temos - Isolando
: - Vetorialmente:
- Comentário verificatório: quando
o numerador vai para zero, então de forma contínua na fronteira interna (bom sinal físico).
Passo 5
Região
(fora do fio).
- O laço de raio
engloba toda a corrente que passa pelo condutor; calculamos a corrente total integrando de até : - Aplicando Ampère:
- Logo
- Vetorialmente:
- Observação: esta forma externa pode ser reescrita em termos da corrente total
como que é a expressão esperada para um fio com corrente total .
Passo 6
Checagens rápidas e caso limite útil para memorização.
- Continuidade em
: substituindo nas expressões internas e externas dá o mesmo valor, então é contínuo em . - Caso limite
(fio maciço, sem furo): a expressão para reduz-se a que é a forma conhecida para um condutor sólido com densidade de corrente uniforme. - Lembrete de direção: se
aponta para , o campo circula no sentido dado pela regra da mão direita (vetor em positivo).
Passo 7
Resumo final pronto para consulta rápida (vou deixar as fórmulas limpas abaixo). Força aí — essa questão é das clássicas: simetria + Ampère e sai rápido na prova se souber este esquema.