Um lote de cem peças de roupas contém quatro peças defeituosas e 96 peças não defeituosas. Uma amostra de seis peças é selecionada dentre as cem peças do lote. As peças não são repostas. Isso significa que cada peça pode ser somente retirada uma única vez, e a amostra é um subconjunto das cem peças. Sabendo disso, qual a probabilidade de, em uma amostra com seis peças, haver exatamente duas defeituosas? assinale a alternativa correta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um lote de 100 peças de roupa, onde 4 são defeituosas e 96 são não defeituosas. A gente vai tirar uma amostra de 6 peças sem reposição e quer saber qual a chance de exatamente 2 dessas peças serem defeituosas. Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é perfeita para situações onde retiramos itens sem colocar de volta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular essa probabilidade. A distribuição hipergeométrica nos ajuda a encontrar a chance de obter um certo número de sucessos (neste caso, peças defeituosas) em uma amostra retirada de uma população finita sem reposição.
Passo 3
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
Onde:
- $ D $ é o número total de itens defeituosos (4)
- $ N $ é o número total de itens (100)
- $ n $ é o tamanho da amostra (6)
- $ k $ é o número de itens defeituosos que queremos na amostra (2)
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
Combinações de defeituosos:
-
Combinações de não defeituosos:
-
Combinações totais:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 6
Para facilitar, vamos calcular os valores numéricos usando uma calculadora ou software que lide com combinações grandes:
- $ \dbinom{96}{4} = 3.531.912 $
- $ \dbinom{100}{6} = 1.192.052.400 $
Então:
Resposta
A probabilidade de retirar exatamente duas peças defeituosas na amostra de seis é aproximadamente 1,78%.