Um lote de cem peças de roupas contém quatro peças defeituosas e 96 peças não defeituosas. Uma amostra de seis peças é selecionada dentre as cem peças do lote. As peças não são repostas. Isso significa que cada peça pode ser somente retirada uma única vez, e a amostra é um subconjunto das cem peças. Sabendo disso, qual a probabilidade de, em uma amostra com seis peças, haver exatamente duas defeituosas? assinale a alternativa correta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um lote de 100 peças de roupa, onde 4 são defeituosas e 96 são não defeituosas. A gente vai tirar uma amostra de 6 peças sem reposição e quer saber qual a chance de exatamente 2 dessas peças serem defeituosas. Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é perfeita para situações onde retiramos itens sem colocar de volta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular essa probabilidade. A distribuição hipergeométrica nos ajuda a encontrar a chance de obter um certo número de sucessos (neste caso, peças defeituosas) em uma amostra retirada de uma população finita sem reposição.

Passo 3

A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomDk times dbinomN - Dn - kdbinomNn
Onde:
  • $ D $ é o número total de itens defeituosos (4)
  • $ N $ é o número total de itens (100)
  • $ n $ é o tamanho da amostra (6)
  • $ k $ é o número de itens defeituosos que queremos na amostra (2)

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Combinações de defeituosos:
    dbinom42 = 4!2! times (4-2)! = 4 times 32 times 1 = 6
  2. Combinações de não defeituosos:
    dbinom964 = 96!4! times (96-4)! = um número bem grande, mas vamos manter assim por enquanto ú
  3. Combinações totais:
    dbinom1006 = 100!6! times (100-6)! = também um número bem grande éú

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
P(X = 2) = 6 times dbinom964dbinom1006

Passo 6

Para facilitar, vamos calcular os valores numéricos usando uma calculadora ou software que lide com combinações grandes:
  • $ \dbinom{96}{4} = 3.531.912 $
  • $ \dbinom{100}{6} = 1.192.052.400 $
Então:
dbinom964 = 3.531.912

Resposta

A probabilidade de retirar exatamente duas peças defeituosas na amostra de seis é aproximadamente 1,78%.

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