Uma loteria vende 100 bilhetes. O preço de cada bilhete é 1,20 e o bilhete premiado ganha um prêmio de 100 reais. Você compra um bilhete. Qual a esperança de seu ganho?
Passo 1
O enunciado: uma loteria vende
bilhetes, cada bilhete custa
reais, e existe exatamente um bilhete premiado que paga
reais. Você compra um bilhete.
O que é pedido: “Qual a esperança de seu ganho?” — ou seja, qual o valor esperado (esperança matemática) do seu ganho (resultado financeiro) ao comprar esse bilhete.
Informações relevantes dadas:
O que é pedido: “Qual a esperança de seu ganho?” — ou seja, qual o valor esperado (esperança matemática) do seu ganho (resultado financeiro) ao comprar esse bilhete.
Informações relevantes dadas:
- número total de bilhetes:
; - preço do bilhete (custo que você paga):
reais; - prêmio caso seu bilhete seja o premiado:
reais; - você comprou exatamente um bilhete.
Passo 2
Definimos claramente a variável aleatória que vamos estudar. Seja
o seu ganho (lucro) líquido, em reais, após comprar o bilhete. “Ganho líquido” significa: prêmio recebido (se houver) menos o que você pagou pelo bilhete.
Portanto pode assumir dois valores:
Portanto
- se você ganhar o prêmio: recebe
e pagou , então ; - se você não ganhar: recebe
e pagou , então .
Passo 3
Vamos à definição de esperança (valor esperado). A esperança de uma variável aleatória discreta é a soma dos seus possíveis valores multiplicados pelas respectivas probabilidades. Em fórmula:
onde
são os valores possíveis de
e
são as probabilidades desses valores.
Explicando cada termo: é o valor médio que você espera obter se repetisse o experimento muitas vezes;
é cada ganho possível;
é a chance de ocorrer esse ganho. Essa soma pondera cada ganho pela sua chance.
Explicando cada termo:
Passo 4
Calculemos as probabilidades dos dois casos:
- probabilidade de ganhar o prêmio com um bilhete dentre
é . Escrevendo em TeX: . - probabilidade de não ganhar é o complementar:
.
Passo 5
Calcule os valores numéricos dos ganhos:
- ganho se ganhar:
. Em TeX: reais. - ganho se perder:
reais.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da esperança com os dois valores:
Vamos calcular passo a passo. Primeiro o termo do prêmio:
Agora o termo da perda:
Somando os dois:
Passo 7
Verificação alternativa (jeito rápido): a esperança do prêmio recebido (antes de pagar) é
Como você paga
, a esperança do ganho líquido é
o mesmo resultado. Interpretação:
reais significa que em média você perde
reais — ou seja, um prejuízo esperado de
centavos por bilhete comprado. Não é uma boa aposta se você busca lucro médio.