Uma loteria vende 100 bilhetes. O preço de cada bilhete é 1,20 e o bilhete premiado ganha um prêmio de 100 reais. Você compra um bilhete. Qual a esperança de seu ganho?

Passo 1

O enunciado: uma loteria vende 100 bilhetes, cada bilhete custa 1,20 reais, e existe exatamente um bilhete premiado que paga 100 reais. Você compra um bilhete.
O que é pedido: “Qual a esperança de seu ganho?” — ou seja, qual o valor esperado (esperança matemática) do seu ganho (resultado financeiro) ao comprar esse bilhete.
Informações relevantes dadas:
  • número total de bilhetes: 100;
  • preço do bilhete (custo que você paga): 1,20 reais;
  • prêmio caso seu bilhete seja o premiado: 100 reais;
  • você comprou exatamente um bilhete.

Passo 2

Definimos claramente a variável aleatória que vamos estudar. Seja G o seu ganho (lucro) líquido, em reais, após comprar o bilhete. “Ganho líquido” significa: prêmio recebido (se houver) menos o que você pagou pelo bilhete.
Portanto G pode assumir dois valores:
  • se você ganhar o prêmio: recebe 100 e pagou 1,20, então G = 100 - 1,20;
  • se você não ganhar: recebe 0 e pagou 1,20, então G = 0 - 1,20 = -1,20.

Passo 3

Vamos à definição de esperança (valor esperado). A esperança de uma variável aleatória discreta é a soma dos seus possíveis valores multiplicados pelas respectivas probabilidades. Em fórmula:
\mathbb{E}[G] = \sum_{i} g_i \cdot P(G=g_i)
onde g_i são os valores possíveis de G e P(G=g_i) são as probabilidades desses valores.
Explicando cada termo: \mathbb{E}[G] é o valor médio que você espera obter se repetisse o experimento muitas vezes; g_i é cada ganho possível; P(G=g_i) é a chance de ocorrer esse ganho. Essa soma pondera cada ganho pela sua chance.

Passo 4

Calculemos as probabilidades dos dois casos:
  • probabilidade de ganhar o prêmio com um bilhete dentre 100 é 1/100. Escrevendo em TeX: P(\text{ganhar}) = \dfrac{1}{100}.
  • probabilidade de não ganhar é o complementar: P(\text{não ganhar}) = \dfrac{99}{100}ã.

Passo 5

Calcule os valores numéricos dos ganhos:
  • ganho se ganhar: 100 - 1,20 = 98,80. Em TeX: G = 100 - 1,20 = 98,80 reais.
  • ganho se perder: G = -1,20 reais.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da esperança com os dois valores:
\mathbb{E}[G] = 98,80 \cdot \frac{1}{100} + (-1,20) \cdot \frac{99}{100}.
Vamos calcular passo a passo. Primeiro o termo do prêmio:
98,80 \cdot \frac{1}{100} = \frac{98,80}{100} = 0,988.
Agora o termo da perda:
-1,20 \cdot \frac{99}{100} = -\frac{1,20 \cdot 99}{100} = -\frac{118,80}{100} = -1,188.
Somando os dois:
\mathbb{E}[G] = 0,988 + (-1,188) = -0,200.

Passo 7

Verificação alternativa (jeito rápido): a esperança do prêmio recebido (antes de pagar) é
\mathbb{E}[\text{prêmio}] = 100 \cdot \frac{1}{100} + 0\cdot\frac{99}{100} = 1.ê
Como você paga 1,20, a esperança do ganho líquido é
\mathbb{E}[G] = \mathbb{E}[\text{prêmio}] - 1,20 = 1 - 1,20 = -0,20,ê
o mesmo resultado. Interpretação: \mathbb{E}[G] = -0,20 reais significa que em média você perde 0,20 reais — ou seja, um prejuízo esperado de 20 centavos por bilhete comprado. Não é uma boa aposta se você busca lucro médio.

Resposta

-0,20\\ \text{reais}