Qual é o maior valor que a soma das coordenadas de um ponto pertencente à circunferência
pode assumir?
Passo 1
O enunciado dá a circunferência
e pede: qual é o maior valor que a soma das coordenadas de um ponto pertencente a essa circunferência pode assumir? Em outras palavras, queremos encontrar o máximo possível de
sujeito à condição
.
Passo 2
Uma maneira muito eficiente de atacar problemas que envolvem soma de coordenadas e magnitude é usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Vou explicar essa desigualdade de forma simples e mostrar por que ela se encaixa aqui.
A desigualdade de Cauchy–Schwarz, no caso de vetores em
, diz que, para quaisquer vetores
e
,
Interpretação: o quadrado do produto escalar é no máximo o produto dos quadrados das normas. Aqui cada símbolo significa:
-
são as componentes do primeiro vetor; -
são as componentes do segundo vetor; -
é o produto escalar; -
é o quadrado da norma do primeiro vetor, e idem para o segundo.
No nosso problema, queremos controlar
. Isso é o produto escalar entre o vetor
e o vetor
, pois
Então é exatamente o caso de aplicar Cauchy–Schwarz com
e
.
Passo 3
Aplicando Cauchy–Schwarz obtemos
Sabemos pelo enunciado que
. Substituindo,
Tomando raiz quadrada (e lembrando que queremos o maior valor possível de
, isto é, o positivo),
Portanto,
é um limite superior para a soma das coordenadas de qualquer ponto da circunferência.
Passo 4
Agora temos que verificar se esse limite pode ser alcançado por algum ponto da circunferência (ou seja, se é realmente máximo e não apenas um teto impossível). Na desigualdade de Cauchy–Schwarz, a igualdade ocorre exatamente quando os vetores são proporcionais: aqui quando
é um múltiplo de
. Isso significa que devemos ter
no ponto que atinge a igualdade.
Substituindo
na equação da circunferência:
Isso dá
. Para obter a soma máxima escolhemos
(pois
daria soma negativa). Assim
também, e a soma é
Passo 5
Concluímos que o valor
é atingido pelo ponto
que pertence à circunferência
. Logo
é de fato o máximo possível da soma das coordenadas.