Qual é o maior valor que a soma das coordenadas de um ponto pertencente à circunferência
x^{2}+y^{2}=50
pode assumir?

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^{2}+y^{2}=50
e pede: qual é o maior valor que a soma das coordenadas de um ponto pertencente a essa circunferência pode assumir? Em outras palavras, queremos encontrar o máximo possível de x+y sujeito à condição \;x^{2}+y^{2}=50.

Passo 2

Uma maneira muito eficiente de atacar problemas que envolvem soma de coordenadas e magnitude é usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Vou explicar essa desigualdade de forma simples e mostrar por que ela se encaixa aqui.
A desigualdade de Cauchy–Schwarz, no caso de vetores em \mathbb{R}^{2}, diz que, para quaisquer vetores (u_{1},u_{2}) e (v_{1},v_{2}),
(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2})^{2} \le (u_{1}^{2}+u_{2}^{2})\,(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}).
Interpretação: o quadrado do produto escalar é no máximo o produto dos quadrados das normas. Aqui cada símbolo significa:
  • u_{1},u_{2} são as componentes do primeiro vetor;
  • v_{1},v_{2} são as componentes do segundo vetor;
  • u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2} é o produto escalar;
  • u_{1}^{2}+u_{2}^{2} é o quadrado da norma do primeiro vetor, e idem para o segundo.
No nosso problema, queremos controlar x+y. Isso é o produto escalar entre o vetor (x,y) e o vetor (1,1), pois
x+y = x\cdot 1 + y\cdot 1.
Então é exatamente o caso de aplicar Cauchy–Schwarz com (u_{1},u_{2})=(x,y) e (v_{1},v_{2})=(1,1).

Passo 3

Aplicando Cauchy–Schwarz obtemos
(x+y)^{2} \le (x^{2}+y^{2})\,(1^{2}+1^{2}).
Sabemos pelo enunciado que \;x^{2}+y^{2}=50. Substituindo,
(x+y)^{2} \le 50 \cdot 2 = 100.
Tomando raiz quadrada (e lembrando que queremos o maior valor possível de x+y, isto é, o positivo),
x+y \le 10.
Portanto, 10 é um limite superior para a soma das coordenadas de qualquer ponto da circunferência.

Passo 4

Agora temos que verificar se esse limite pode ser alcançado por algum ponto da circunferência (ou seja, se é realmente máximo e não apenas um teto impossível). Na desigualdade de Cauchy–Schwarz, a igualdade ocorre exatamente quando os vetores são proporcionais: aqui quando (x,y) é um múltiplo de (1,1). Isso significa que devemos ter x=y no ponto que atinge a igualdade.
Substituindo x=y na equação da circunferência:
x^{2}+x^{2}=50 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=50 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=25.
Isso dá x=\pm 5. Para obter a soma máxima escolhemos x=5 (pois x=-5 daria soma negativa). Assim y=5 também, e a soma é
x+y=5+5=10.

Passo 5

Concluímos que o valor 10 é atingido pelo ponto (5,5) que pertence à circunferência \;x^{2}+y^{2}=50. Logo 10 é de fato o máximo possível da soma das coordenadas.

Resposta

10