1. A maioria dos gases obedece à Lei de Boyle: numa amostra de gás mantida a uma temperatura constante enquanto está sendo comprimida por um pistão num cilindro, sua pressão p e seu volume V estão relacionados pela equação p V=c, onde c é uma constante. Ache \frac{d p}{d t} em termos de p e \frac{d V}{d t}.
    Temos temperatura e c contantes. Derivando a relação p V=c em relação ao tempo obtemos:
\frac{d p}{d t} V+p \frac{d V}{d t}=0 \quad \text { ou } \quad \frac{d p}{d t}=-\frac{p}{V} \frac{d V}{d t}
Substituímos agora \frac{p}{c} por \frac{1}{V} que é obtida de p V=c e encontramos
\frac{d p}{d t}=-\frac{p^{2}}{c} \frac{d V}{d t}

Passo 1

O enunciado usa a Lei de Boyle, que diz que para uma amostra de gás a temperatura constante vale
pV = c,
onde p é a pressão, V o volume e c uma constante. Precisamos achar \frac{dp}{dt} em função de p, de \frac{dV}{dt} e de c.

Passo 2

Vamos derivar implicitamente a relação \;pV=c\; em relação ao tempo t. Como c é constante, sua derivada é zero, e pelo produto de funções obtemos
\frac{d}{dt}(pV) = \frac{dp}{dt}\,V + p\,\frac{dV}{dt} = 0.

Passo 3

Isolando \frac{dp}{dt} na equação
\frac{dp}{dt}\,V + p\,\frac{dV}{dt} = 0
segue que
\frac{dp}{dt}\,V = -\,p\,\frac{dV}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dt} = -\frac{p}{V}\,\frac{dV}{dt}.

Passo 4

Para expressar tudo em termos de p e \frac{dV}{dt}, usamos pV=c, que dá \tfrac{1}{V} = \tfrac{p}{c}. Substituindo em \frac{dp}{dt} = -\tfrac{p}{V}\frac{dV}{dt} resulta
\frac{dp}{dt} = -\,p\;\frac{p}{c}\;\frac{dV}{dt} = -\frac{p^{2}}{c}\,\frac{dV}{dt}.

Resposta

\frac{dp}{dt} = -\frac{p^{2}}{c}\,\frac{dV}{dt}.

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