Para manter o pico de densidade de fluxo magnético no entreferro no valor nominal, por que as magnitudes de tensão elétrica, em uma determinada frequência de operação, dependem do torque fornecido pelo motor?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar por que, mantendo o pico da densidade de fluxo no entreferro no valor nominal e fixando a frequência de operação, as magnitudes das tensões elétricas dependem do torque que o motor entrega.
Informações e condições relevantes (tiradas do enunciado):
  • A frequência de operação está fixa.
  • Deseja-se manter o pico da densidade de fluxo magnético no entreferro no valor nominal (ou seja, manter a componente principal de fluxo constante).
  • O torque mecânico entregue pelo motor varia.
  • É necessário relacionar tensão elétrica (nas terminações ou aplicada ao estator) com o torque, sob a condição de fluxo constante.

Passo 2

Primeiro, entender o que é o fluxo e como ele se relaciona com a tensão induzida.
  • Definição: a densidade de fluxo no entreferro B_g está associada ao fluxo magnético por polo \Phi e ao enrolamento através da função de enrolamento; para fins práticos vamos trabalhar com a fluxo ligado por fase (ou fluxo por polo) \Psi que é a “flux-linkage”.
  • Lei de Faraday (sinusoidal, regime permanente): a tensão induzida por fase (a força eletromotriz interna) tem magnitude proporcional à taxa de variação do fluxo. Em regime senoidal temos a relação em módulo
|E| = \omega\,|\Psi|,
onde:
  • \omega é a pulsação elétrica (rad/s), ligada à frequência por \omega=2\pi f;
  • \Psi é a flux-linkage associada ao fluxo no entreferro (proporcional ao pico de B_g);
  • E é a tensão interna gerada pela variação do fluxo.
Conclusão parcial: se a frequência \omega está fixa e se se quer manter o pico de B_g (logo |\Psi|) constante, então o módulo da tensão interna gerada |E| também fica praticamente fixo.

Passo 3

Agora, colocar a equação de tensões da máquina (modelo por fase, forma fasorial) para ver de onde surge a dependência com o torque.
  • Equação fasorial geral (estator, regime senoidal):
\underline{V} = \underline{E} + R_s\underline{I} + jX_s\underline{I},
onde:
  • \underline{V} é a tensão terminal aplicada ao enrolamento (fasor);
  • \underline{E} é a tensão interna induzida (fasor) ligada ao fluxo: |\underline{E}|=\omega|\Psi|;
  • R_s é a resistência de enrolamento do estator;
  • X_s é a reatância síncrona (ou equivalente de dispersão/leakage reactance, dependendo do modelo);
  • \underline{I} é a corrente de estator (fasor).
  • Interpretando: a tensão que se aplica no terminal tem que “pagar” duas coisas: (i) a tensão interna \underline{E} associada ao fluxo e à frequência; (ii) as quedas de tensão R_s\underline{I}+jX_s\underline{I} causadas pela corrente que circula.

Passo 4

Ligar corrente e torque: por que o torque faz a corrente variar.
  • Em máquinas elétricas o torque eletromagnético é produzido pela interação entre o campo magnético (fluxo no entreferro) e a componente apropriada da corrente do estator. De forma compacta pode-se dizer (modelo de eixos d–q):
T \propto \Psi \cdot I_q,
onde I_q é a componente da corrente que efetivamente produz torque (a componente ortogonal à componente de fluxo). O ponto importante: para exercer mais torque é preciso maior corrente (ou maior \Psi, mas aqui \Psi está mantido constante pelo enunciado). Portanto, aumentando o torque aumenta a magnitude da corrente |\underline{I}| (especialmente a componente I_q).

Passo 5

Combinar as peças: por que a tensão depende do torque.
  • Já vimos que para manter o fluxo |\Psi| constante numa frequência fixa é necessário manter |\underline{E}|=\omega|\Psi| praticamente constante.
  • Mas a tensão terminal exigida é \underline{V}=\underline{E}+(R_s+jX_s)\underline{I}. Quando o torque aumenta, |\underline{I}| aumenta. Logo as quedas R_s\underline{I} e jX_s\underline{I} aumentam.
  • Para que |\underline{E}| (e assim |\Psi| e o pico de B_g) permaneçam no valor nominal, a tensão terminal \underline{V} precisa compensar estas quedas adicionais. Isso implica que o módulo de \underline{V} (e às vezes a sua fase) dependa do valor de |\underline{I}| — e, portanto, do torque exigido.
  • Em outras palavras: parte da tensão aplicada é “gasta” internamente nas quedas resistivas e reativas associadas à corrente necessária para produzir o torque; para manter a mesma tensão interna ligada ao fluxo é preciso aumentar a tensão terminal quando o torque (e a corrente) aumentam.

Passo 6

Intuição física e efeitos práticos
  • Intuição: pense no circuito magnético + elétrico. O fluxo quer ser mantido: isso determina a f.e.m. interna. Mas para forçar a corrente necessária para produzir torque, a corrente atravessa a impedância do enrolamento e cria uma queda de tensão. Para superar essa queda e manter a mesma f.e.m. interna, a tensão aplicada precisa subir.
  • Consequências práticas:
    • Em controle V/f (motores de indução) costuma-se manter V/f constante para fixar o fluxo em baixas velocidades; porém, sob carga alta é comum observar queda do fluxo se não se ajustar a tensão porque as quedas resistivas/reativas aumentam com a corrente. Por isso às vezes se adiciona “boost” de tensão em baixa velocidade quando o torque aumenta.
    • Em máquinas síncronas, a excitação (corrente de campo) também pode ser ajustada para manter \Psi e reduzir a necessidade de aumentar a tensão terminal, mas ainda há quedas por corrente do estator que precisam ser compensadas.

Passo 7

Exemplo numérico simples (ilustrativo, para visualizar)
  • Suponha |\underline{E}|=100\\ \text{V} (fixo pela \omega|\Psi|), X_s=1\\ \Omega e R_s pequeno. Se a corrente requerida para certo torque é |\underline{I}|=1\\ \text{A}, a queda reativa é |jX_s\underline{I}|=1\\ \text{V}. Então |\underline{V}| precisa ser ≈ 101\\ \text{V} (dependendo da fase).
  • Se o torque dobra e a corrente vai para 2\\ \text{A}, a queda passa a 2\\ \text{V} e |\underline{V}| precisa subir para ≈ 102\\ \text{V}.
  • Esse exemplo mostra de forma direta: mais torque → mais corrente → maiores quedas internas → tensão terminal precisa variar para manter a mesma tensão interna ligada ao fluxo.

Passo 8

Resumo didático e mensagem de prova (como responder rapidamente num exame)
  • Regra curta para usar na prova: “Com frequência fixa e fluxo desejado constante, a tensão interna é fixa pela relação |E|=\omega|\Psi|. A tensão terminal precisa somar a essa tensão interna as quedas nas impedâncias do estator, que aumentam com a corrente. Como o torque exige corrente, a tensão terminal necessária depende do torque.”
  • Se pedirem uma equação use a forma fasorial
\underline{V}=\underline{E}+(R_s+jX_s)\underline{I}
e explique brevemente cada termo e que T\propto\Psi I_q (logo I cresce com T quando \Psi é fixo).

Resposta

Porque para um fluxo do entreferro fixo e frequência constante a tensão interna induzida |E|=\omega|\Psi| fica praticamente fixa, mas o torque exige corrente adicional; essa corrente provoca quedas de tensão resistivas e reativas R_s\underline{I}+jX_s\underline{I} no circuito do estator, de modo que a tensão terminal precisa mudar para compensar essas quedas e assim manter o pico de fluxo nominal.

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