Uma máquina desenvolvida por um engenheiro mecânico enche pacotes de café com variância igual a 100 g^{2}. Ela estava regulada para encher os pacotes com uma média de 500 g . Agora a máquina desregulou e queremos estimar a nova média \mu. Uma amostra de 25 pacotes apresentou uma média de 485 g . Encontre um IC de 94% para a verdadeira média \mu.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos um intervalo de confiança de 94\% para a verdadeira média \mu depois da máquina se desregular. As informações dadas são:
  • Variância verdadeira conhecida: \sigma^{2}=100\\ \text{g}^{2}.
  • Portanto desvio padrão: \sigma=10\\ \text{g}.
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Média da amostra: \bar{x}=485\\ \text{g}.
  • Nível de confiança desejado: 94\%.

Passo 2

O que vamos usar aqui (sem complicar): quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida, o valor médio amostral \bar{X} tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Ou seja,
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Explicando as letras:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui observamos \bar{x}=485).
  • \mu é a média verdadeira que queremos estimar.
  • \sigma é o desvio padrão da população (aqui \sigma=10).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
    Essa propriedade permite construir intervalos de confiança usando a distribuição normal padrão (o chamado z).

Passo 3

A definição do intervalo de confiança (simétrica) parte da desigualdade
P\!\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\le \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\le z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\alpha,
onde 1-\alpha é o nível de confiança. Resolvendo a desigualdade para \mu obtemos a fórmula prática do intervalo:
\mu\in\left[\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right].
Aqui:
  • 1-\alpha=0,94 (nível de confiança),
  • z_{1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil da normal padrão tal que a área central é 0,94.

Passo 4

Calculemos \alpha e o quantil z:
\alpha=1-(1-\alpha)=1-0,94=0,06,\quad \frac{\alpha}{2}=0,03.
Precisamos de z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,97}, que é o valor de z tal que P(Z\le z)=0,97. Consultando tabela da normal ou usando uma calculadora estatística, obtemos aproximadamente
z_{0,97}\approx 1,8808.
(Em tabelas, procure a probabilidade 0,9700.)

Passo 5

Calculemos o erro padrão (desvio padrão da média):
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2\\ \text{g}.
Expliquei: o desvio padrão da média decresce com \sqrt{n}, por isso amostras maiores dão intervalos mais estreitos.

Passo 6

Agora a margem de erro (meia largura do intervalo) é
\text{ME}=z_{0,97}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 1,8808\cdot 2=3,7616\\ \text{g}.

Passo 7

Finalmente construímos o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem à média amostral:
\text{Limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=485-3,7616=481,2384\\ \text{g},
\text{Limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=485+3,7616=488,7616\\ \text{g}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais, o intervalo é aproximadamente de 481,24\\ \text{g} a 488,76\\ \text{g}.

Resposta

\;[481,24\\ \text{g},\;488,76\\ \text{g}]