Uma máquina desenvolvida por um engenheiro mecânico enche pacotes de café com variância igual a
. Ela estava regulada para encher os pacotes com uma média de 500 g . Agora a máquina desregulou e queremos estimar a nova média
. Uma amostra de 25 pacotes apresentou uma média de 485 g . Encontre um IC de 94% para a verdadeira média
.
Passo 1
O enunciado pede que encontremos um intervalo de confiança de
para a verdadeira média
depois da máquina se desregular. As informações dadas são:
- Variância verdadeira conhecida:
. - Portanto desvio padrão:
. - Tamanho da amostra:
. - Média da amostra:
. - Nível de confiança desejado:
.
Passo 2
O que vamos usar aqui (sem complicar): quando a variância populacional
é conhecida, o valor médio amostral
tem distribuição normal com média
e desvio padrão
. Ou seja,
Explicando as letras:
-
é a média amostral (aqui observamos ). -
é a média verdadeira que queremos estimar. -
é o desvio padrão da população (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ).
Essa propriedade permite construir intervalos de confiança usando a distribuição normal padrão (o chamado).
Passo 3
A definição do intervalo de confiança (simétrica) parte da desigualdade
onde
é o nível de confiança. Resolvendo a desigualdade para
obtemos a fórmula prática do intervalo:
Aqui:
-
(nível de confiança), -
é o quantil da normal padrão tal que a área central é .
Passo 4
Calculemos
e o quantil
:
Precisamos de
, que é o valor de
tal que
. Consultando tabela da normal ou usando uma calculadora estatística, obtemos aproximadamente
(Em tabelas, procure a probabilidade
.)
Passo 5
Calculemos o erro padrão (desvio padrão da média):
Expliquei: o desvio padrão da média decresce com
, por isso amostras maiores dão intervalos mais estreitos.
Passo 6
Agora a margem de erro (meia largura do intervalo) é
Passo 7
Finalmente construímos o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem à média amostral:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais, o intervalo é aproximadamente de
a
.