Uma máquina de embalar medicamentos está calibrada para encher frascos de xarope com média de 200 ml de líquido. Considere que a quantidade de xarope introduzida nos frascos se encontra normalmente distribuída, apresentando desvio padrão de 15 ml. Qual a probabilidade de selecionar um frasco de um determinado lote embalado por esta máquina e este conter xarope entre 200 e 220 ml?
a. 50%
b. 100%
c. 59,2%
d. 9,18%
e. 40,82%

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma máquina que enche frascos de xarope com uma média de 200 ml e um desvio padrão de 15 ml. Isso significa que a quantidade de xarope segue uma distribuição normal. A pergunta é: qual a probabilidade de um frasco escolhido aleatoriamente ter entre 200 e 220 ml de xarope? Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente sobre distribuição normal e o cálculo de probabilidades usando o escore z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Ela é uma curva simétrica onde a média é o ponto central. No nosso caso, a média (μ) é 200 ml e o desvio padrão (σ) é 15 ml. A distribuição normal nos ajuda a calcular a probabilidade de uma variável cair dentro de um intervalo específico.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de um frasco ter entre 200 e 220 ml. Para isso, vamos calcular os escores z correspondentes a esses valores. O escore z é uma forma de medir quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula do escore z é:
z = X - musigma

Passo 4

Vamos calcular o escore z para X = 200 ml:
z1 = 200 - 20015 = 015 = 0
Agora, para X = 220 ml:
z2 = 220 - 20015 = 2015 approx 1,33

Passo 5

Com os escores z calculados, agora usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes.
Para z = 0, a probabilidade acumulada é 0,5 ou 50%. Isso porque 50% dos valores estão abaixo da média.
Para z = 1,33, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9082 ou 90,82%.

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade de um frasco ter entre 200 e 220 ml, subtraímos a probabilidade acumulada em z = 0 da probabilidade acumulada em z = 1,33:
P(200 <= X <= 220) = P(z <= 1,33) - P(z <= 0)
P(200 <= X <= 220) = 0,9082 - 0,5
P(200 <= X <= 220) = 0,4082

Resposta

A probabilidade é de 40,82%, ou seja, a opção e. 40,82%.

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