Uma máquina térmica de Carnot opera entre dois reservatórios à temperaturas \mathrm{T}_{\mathrm{Q}} e \mathrm{T}_{\mathrm{F}}. Considere um refrigerador de Carnot obtido ao operar a máquina no sentido inverso, entre as mesmas temperaturas. Calcule o coeficiente de rendimento do refrigerador de Carnot.

Passo 1

O enunciado fala de uma máquina de Carnot que opera entre um reservatório quente à temperatura \mathrm{T}_{Q} e outro frio à temperatura \mathrm{T}_{F}. Quando a máquina é invertida, ela funciona como refrigerador de Carnot, cujo coeficiente de desempenho (COP) queremos calcular. Para isso, vamos usar a definição de COP de refrigerador e as relações de energia e temperatura próprias do ciclo de Carnot.

Passo 2

Num ciclo de Carnot direto (máquina térmica) a eficiência é
\eta \;=\; 1 \;-\;\frac{\mathrm{T}_{F}}{\mathrm{T}_{Q}}.
Isso significa que, para cada quantidade de calor Q_{Q} cedida ao reservatório quente, o trabalho realizado é
W \;=\;\eta\,Q_{Q} \;=\;\Bigl(1-\frac{\mathrm{T}_{F}}{\mathrm{T}_{Q}}\Bigr)\,Q_{Q}.

Passo 3

Como ciclo de Carnot satisfaz
\frac{Q_{Q}}{Q_{F}} \;=\;\frac{\mathrm{T}_{Q}}{\mathrm{T}_{F}},
podemos escrever
Q_{Q} \;=\;Q_{F}\,\frac{\mathrm{T}_{Q}}{\mathrm{T}_{F}}.

Passo 4

No refrigerador, o trabalho W é o mesmo (em módulo) e entra no sistema, e o calor extraído do frio é Q_{F}. O COP do refrigerador é definido por
\beta \;=\;\frac{Q_{F}}{W}.
Substituindo W em termos de Q_{F}:
W \;=\;Q_{Q}-Q_{F} \;=\;Q_{F}\,\frac{\mathrm{T}_{Q}}{\mathrm{T}_{F}} \;-\;Q_{F} \;=\;Q_{F}\,\frac{\mathrm{T}_{Q}-\mathrm{T}_{F}}{\mathrm{T}_{F}}.
Logo,
\beta \;=\;\frac{Q_{F}}{Q_{F}\,\frac{\mathrm{T}_{Q}-\mathrm{T}_{F}}{\mathrm{T}_{F}}} \;=\;\frac{\mathrm{T}_{F}}{\mathrm{T}_{Q}-\mathrm{T}_{F}}.

Resposta

O coeficiente de desempenho do refrigerador de Carnot é
\beta \;=\;\frac{\mathrm{T}_{F}}{\mathrm{T}_{Q}-\mathrm{T}_{F}}.

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