Uma massa de água de 1 kg a 0,4 \mathrm{MPa} e 200^{\circ} \mathrm{C} se expande em um processo adiabático reversível até a pressão de 0,125 \mathrm{MPa}. Em seguida, sofre um resfriamento à pressão constante até que se torne líquido saturado, rejeitando calor para o ambiente, que se encontra a 27^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) O trabalho realizado pelo sistema
b) O calor trocado com a vizinhança
c) A variação líquida de entropia do meio (= sistema + vizinhança).

Passo 1

O enunciado dá uma massa de água de 1\\ \mathrm{kg} e descreve dois processos em sequência:
  • Estado inicial (1): m=1\\ \mathrm{kg}, P_1=0{,}4\\ \mathrm{MPa} e T_1=200{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Processo 1 (1 → 2): expansão adiabática reversível até P_2=0{,}125\\ \mathrm{MPa}.
  • Processo 2 (2 → 3): resfriamento à pressão constante P_2=0{,}125\\ \mathrm{MPa} até se tornar líquido saturado (isto é, estado 3 é líquido saturado à 0{,}125\\ \mathrm{MPa}). Durante esse resfriamento o sistema rejeita calor ao ambiente T_0=27{,}^\circ\mathrm{C}.
    Perguntas pedidas:
    (a) O trabalho realizado pelo sistema (total, ao longo dos dois processos).
    (b) O calor trocado com a vizinhança (total).
    (c) A variação líquida de entropia do meio (= sistema + vizinhança).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Processo 1 é adiabático e reversível ⇒ processo isentrópico (entropia do sistema constante entre 1 e 2): s_2=s_1.
  • Processo 2 ocorre à pressão constante P_2, terminando em líquido saturado à P_2.
  • Convenção de sinais: trabalho positivo quando realizado pelo sistema; calor positivo quando recebido pelo sistema.

Passo 2

Plano de resolução (sem ainda fazer contas numéricas):
  1. Obter as propriedades termodinâmicas do estado 1: h_1,\\ s_1,\\ v_1 (usando tabelas de vapor).
  2. Como a expansão é isentrópica, na pressão P_2 procurar na tabela o estado (possivelmente biphasic) cujo entropia é s_2=s_1. Se s_1 cair entre s_f e s_g de P_2, o estado 2 será mistura vapor-líquido com qualidade x_2 e cálculos por mistura (linear) dão h_2 e v_2.
  3. Calcular o trabalho no primeiro processo (adiabático reversível, fechado): usar energia interna específica u=h-Pv e a 1.ª lei para sistema fechado sem calor: W_{1}=m\,(u_1-u_2). (Explico por que escolhi essa expressão no passo didático seguinte.)
  4. Para o resfriamento à pressão constante (2 → 3): o calor trocado é Q_2=m\,(h_3-h_2) (porque, para processo à pressão constante com trabalho somente de pressão- -volume, Q=\Delta H). O trabalho nesta etapa é W_{2}=m\,P_2(v_3-v_2).
  5. Somar W=W_1+W_2 e Q=Q_1+Q_2 (com Q_1=0 porque o primeiro processo é adiabático).
  6. Calcular as variações de entropia:
    • Para o sistema: \Delta S_{\text{sis}}=m\,(s_3-s_1).
    • Para a vizinhança: \Delta S_{\text{viz}}=-\dfrac{Q_{\text{total}}}{T_0} (o sinal vem do fato de que se o sistema libera calor Q<0, a vizinhança recebe -Q).
    • Total: \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{sis}}+\Delta S_{\text{viz}}.
  7. Conferir consistência com a 1.ª lei: Q_{\text{total}}-W_{\text{total}}=m(u_3-u_1).
Nos próximos passos eu pego os valores de tabelas, faço as contas passo a passo e explico cada fórmula usada.

Passo 3

Vou pegar as propriedades da água/vapor nas tabelas de vapor (steam tables) para os pontos relevantes. Os valores usados nas contas abaixo foram obtidos nas tabelas de vapor padrão; listo-os aqui explicitamente:
Para o estado 1: \;P_1=0{,}4\\ \mathrm{MPa}, T_1=200{,}^\circ\mathrm{C} (superaquecido):
  • h_1 = 2\,860{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} (entalpia específica no estado 1);
  • s_1 = 7{,}127\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (entropia específica no estado 1).
    (esses valores foram retirados da tabela de vapor para vapor superaquecido a P=0{,}4\\ \mathrm{MPa} e T=200{,}^\circ\mathrm{C}.)
    Para a pressão P_2=0{,}125\\ \mathrm{MPa} (tabelas de saturação):
  • T_{\text{sat,}2}=103{,}59{,}^\circ\mathrm{C} (temperatura de saturação a 0{,}125\\ \mathrm{MPa});
  • h_{f,2} = 438{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} (entalpia do líquido saturado à P_2);
  • h_{g,2} = 2\,678{,}2\\ \mathrm{kJ/kg} (entalpia do vapor saturado à P_2);
  • s_{f,2} = 1{,}302\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (entropia do líquido saturado à P_2);
  • s_{g,2} = 7{,}356\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (entropia do vapor saturado à P_2);
  • v_{f,2} = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg} (volume específico do líquido saturado);
  • v_{g,2} = 1{,}533\\ \mathrm{m^3/kg} (volume específico do vapor saturado).
    (estes valores foram retirados da tabela de saturação para P=0{,}125\\ \mathrm{MPa}.)
Observação: em muitos exercícios usa-se a massa m=1\\ \mathrm{kg}, então os valores específicos multiplicados por m dão os valores totais.

Passo 4

Determinar o estado 2 usando condição isentrópica s_2=s_1.
Temos \;s_1 = 7{,}127\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Na pressão P_2 a entropia do vapor saturado é s_{g,2}=7{,}356 e do líquido saturado s_{f,2}=1{,}302. Observa-se que
s_{f,2} < s_1 < s_{g,2},
ou seja, em P_2 o valor s_1 corresponde a uma mistura líquido–vapor (estado 2 é úmido). Logo a qualidade x_2 (fração em massa de vapor) é dada por
x_2=\frac{s_1-s_{f,2}}{s_{g,2}-s_{f,2}}.
Substituindo os números:
x_2=\frac{7{,}127-1{,}302}{7{,}356-1{,}302}=\frac{5{,}825}{6{,}054}=0{,}962\quad(\text{adimensional}).
Agora a entalpia no estado 2 (mistura) é
h_2 = h_{f,2} + x_2\,(h_{g,2}-h_{f,2}).
Calculemos:
h_2 = 438{,}6 + 0{,}962\,(2\,678{,}2 - 438{,}6)=438{,}6 + 0{,}962\cdot 2\,239{,}6 = 2\,592{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
O volume específico em 2 é
v_2 = v_{f,2} + x_2\,(v_{g,2}-v_{f,2}) =0{,}001043 + 0{,}962\,(1{,}533-0{,}001043)=1{,}474\\ \mathrm{m^3/kg}.
Resumindo o estado 2 (à pressão 0{,}125\\ \mathrm{MPa}):
  • x_2 = 0{,}962,
  • h_2 = 2\,592{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},
  • v_2 = 1{,}474\\ \mathrm{m^3/kg},
  • s_2 = s_1 = 7{,}127\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 5

Calcular o trabalho no processo adiabático reversível (1 → 2).
Explicação física e fórmula: para um sistema fechado (massa fixa) sem troca de calor Q=0, a 1.ª lei dá \;Q - W = \Delta U\Rightarrow -W = m(u_2-u_1). Assim o trabalho realizado pelo sistema no processo 1 (positivo se o sistema realiza trabalho) é
W_1 = m\,(u_1-u_2).
Lembrando que u=h-Pv (definição de entalpia h=u+Pv), então
u_1 = h_1 - P_1 v_1,\qquad u_2 = h_2 - P_2 v_2.
Precisamos de v_1. Para vapor superaquecido, uma boa aproximação é usar a equação dos gases ideais para estimar v_1 quando o dado de v_1 não foi explicitamente tirado da tabela super - porém como já usamos h_1 e s_1 das tabelas, uma estimativa de v_1 pelo gás ideal é bastante próxima para esta pressão moderada. Usando R_{\text{água}}=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}á, obtemos
v_1 \approx \frac{R\,T_1}{P_1}=\frac{0{,}4615\cdot(200+273{,}15)}{400}=\frac{0{,}4615\cdot473{,}15}{400}=0{,}546\\ \mathrm{m^3/kg}.
Agora calculamos u_1 e u_2. Atenção às unidades: P em kPa usado com v em m^3/kg dá P v em kJ/kg (usar P em kPa).
u_1 = h_1 - P_1 v_1 = 2\,860{,}0 - 400\cdot0{,}546 = 2\,860{,}0 - 218{,}4 = 2\,641{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
u_2 = h_2 - P_2 v_2 = 2\,592{,}6 - 125\cdot1{,}474 = 2\,592{,}6 - 184{,}3 = 2\,408{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Arredondei com duas casas decimais quando conveniente.)
Portanto o trabalho na primeira etapa (com m=1\\ \mathrm{kg}) é
W_1 = m(u_1-u_2)=1\cdot(2\,641{,}6-2\,408{,}3)=233{,}3\\ \mathrm{kJ}.
Interpretando: o sistema realiza 233{,}3\\ \mathrm{kJ} de trabalho durante a expansão adiabática reversível.

Passo 6

Calcular o calor e o trabalho no resfriamento à pressão constante (2 → 3).
Estado 3 é líquido saturado à P_2, logo:
h_3 = h_{f,2} = 438{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad v_3 = v_{f,2} = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad s_3=s_{f,2}=1{,}302\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Para um processo à pressão constante (com trabalho apenas de pressão-volume), o calor trocado é igual à variação de entalpia:
Q_2 = m\,(h_3-h_2)=1\cdot(438{,}6-2\,592{,}6)=-2\,154{,}0\\ \mathrm{kJ}.
Sinal negativo indica que o sistema rejeita 2\,154{,}0\\ \mathrm{kJ} de calor para o meio.
O trabalho associado a esta etapa (trabalho de borda) é
W_2 = m\,P_2\,(v_3-v_2)=1\cdot125\cdot(0{,}001043-1{,}474)=-184{,}1\\ \mathrm{kJ}.
Isso é negativo porque o volume diminui (o sistema tem trabalho realizado sobre ele).

Passo 7

Somar os contributions para obter os totais.
Trabalho total realizado pelo sistema (positivo se sistema realiza trabalho):
W_{\text{total}}=W_1+W_2=233{,}3 + (-184{,}1)=49{,}2\\ \mathrm{kJ}.
(O sistema, ao final dos dois processos, realizou 49{,}2\\ \mathrm{kJ} de trabalho líquido.)
Calor total trocado com a vizinhança:
Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2=0 + (-2\,154{,}0)=-2\,154{,}0\\ \mathrm{kJ}.
(Isto é, o sistema rejeitou 2\,154{,}0\\ \mathrm{kJ} de calor para o ambiente.)
Verificação rápida pela 1.ª lei:
Q_{\text{total}}-W_{\text{total}}=m(u_3-u_1).
Calculamos u_3 = h_3 - P_2 v_3 = 438{,}6 -125\cdot0{,}001043 = 438{,}6 -0{,}130 = 438{,}47\\ \mathrm{kJ/kg}.
Então m(u_3-u_1) = 438{,}47 - 2\,641{,}6 = -2\,203{,}1\\ \mathrm{kJ}.
E Q_{\text{total}}-W_{\text{total}} = -2\,154{,}0 - 49{,}2 = -2\,203{,}2\\ \mathrm{kJ}, compatível (diferença por arredondamento).

Passo 8

Calcular a variação líquida de entropia do meio (sistema + vizinhança).
Variação de entropia do sistema:
\Delta S_{\text{sis}}=m\,(s_3-s_1)=1\cdot(1{,}302-7{,}127)=-5{,}825\\ \mathrm{kJ/K}.
Variação de entropia da vizinhança (ambiente idealizado a temperatura constante T_0=27{,}^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K}):
a vizinhança recebe calor -Q_{\text{total}}=2\,154{,}0\\ \mathrm{kJ}, então
\Delta S_{\text{viz}}=\frac{+2\,154{,}0}{300{,}15}=7{,}176\\ \mathrm{kJ/K}.
Logo a variação líquida:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{sis}}+\Delta S_{\text{viz}}=-5{,}825+7{,}176=1{,}351\\ \mathrm{kJ/K}.
Interpretação: \Delta S_{\text{total}}>0 (aproximadamente 1{,}35\\ \mathrm{kJ/K}) — consistente com o segundo princípio, pois o segundo processo (resfriamento com troca de calor finita para um reservatório a 27{,}^\circ\mathrm{C}) gera irreversibilidade, produzindo entropia líquida positiva.

Resposta

(a) W_{\text{total}}=49{,}2\\ \mathrm{kJ}
(b) Q_{\text{total}}=-2\,154{,}0\\ \mathrm{kJ} (sinal negativo = calor rejeitado pelo sistema)
(c) \Delta S_{\text{total}}=1{,}351\\ \mathrm{kJ/K}

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