Uma turbina isolada termicamente recebe um fluxo de ar de 40 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} a 10 MPa . As áreas de entrada e de saída do ar são iguais a 1,2 \mathrm{~m}^{2} e estão dispostas horizontalmente. A temperatura e pressão de saída são 27^{\circ} \mathrm{C} e 0,1 \mathrm{MPa}, respectivamente, e a velocidade de saída é 600 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que o ar passa por um processo politrópico sem atrito, determine:
a) O expoente do processo
b) A potência da turbina

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) o expoente n do processo politrópico;
(b) a potência da turbina.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Vazão volumétrica na entrada: \dot{V}_{\mathrm{in}}=40\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Pressão de entrada: P_{\mathrm{in}}=10\\ \mathrm{MPa}=10\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Áreas de entrada e saída: A_{\mathrm{in}}=A_{\mathrm{out}}=1,2\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Temperatura de saída: T_{\mathrm{out}}=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de saída: P_{\mathrm{out}}=0,1\\ \mathrm{MPa}=1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Velocidade de saída: v_{\mathrm{out}}=600\\ \mathrm{m/s}.
  • O ar passa por um processo politrópico sem atrito.
  • A turbina é isolada termicamente e os eixos estão na mesma cota (não há troca de calor e não há variação de energia potencial).
Constantes que vou usar (valores típicos para ar seco):
  • Constante dos gases específica: R=287\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
  • Calor específico a pressão constante (aprox. para ar): c_{p}=1005\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
A estratégia geral:
  1. Usar continuidade e lei dos gases ideais para obter a vazão mássica \dot{m}.
  2. Determinar T_{\mathrm{in}} a partir de \dot{m} e P_{\mathrm{in}}.
  3. Usar a relação do processo politrópico para calcular n.
  4. Aplicar a equação de energia em regime permanente para fluxo estacionário sem calor (turbina) e obter a potência \dot{W}.

Passo 2

Calcular velocidades e vazão mássica usando continuidade e equação do gás ideal.
Primeiro a velocidade de entrada (a partir da vazão volumétrica dada e da área):
v_{\mathrm{in}}=\frac{\dot{V}_{\mathrm{in}}}{A_{\mathrm{in}}}=\frac{40}{1,2}=33{,}333\\ \mathrm{m/s}.
A vazão volumétrica na saída é \dot{V}_{\mathrm{out}}=A_{\mathrm{out}}v_{\mathrm{out}}=1{,}2\times600=720\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Agora a densidade na saída pelo gás ideal:
\rho_{\mathrm{out}}=\frac{P_{\mathrm{out}}}{R\,T_{\mathrm{out}}}=\frac{1\times10^{5}}{287\cdot300}.
Calculemos:
\rho_{\mathrm{out}}=\frac{100000}{86100}\approx1{,}16144\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
A vazão mássica é constante e pode ser obtida na saída:
\dot{m}=\rho_{\mathrm{out}}\,\dot{V}_{\mathrm{out}}=\rho_{\mathrm{out}}\,A_{\mathrm{out}}\,v_{\mathrm{out}}=1{,}16144\times720\approx836{,}24\\ \mathrm{kg/s}.
Com \dot{m} podemos encontrar a densidade na entrada:
\rho_{\mathrm{in}}=\frac{\dot{m}}{\dot{V}_{\mathrm{in}}}=\frac{836{,}24}{40}=20{,}906\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
E então a temperatura de entrada pelo gás ideal:
T_{\mathrm{in}}=\frac{P_{\mathrm{in}}}{\rho_{\mathrm{in}}\,R}=\frac{10\times10^{6}}{20{,}906\times287}\approx1666{,}667\\ \mathrm{K}.
Explicação didática curta: a equação dos gases ideais \;P=\rho R T\; relaciona pressão, densidade e temperatura. Usei a saída (onde P_{\mathrm{out}} e T_{\mathrm{out}} são conhecidas) para obter \rho_{\mathrm{out}} e a vazão mássica, que é a grandeza conservada no escoamento estacionário.

Passo 3

Determinar o expoente n do processo politrópico.
Teoria necessária (curta e prática):
  • Para um processo politrópico aplicado a um gás ideal vale \;P V^{n}= constante.
  • Usando V=\dfrac{m R T}{P} (do gás ideal), é possível obter a relação entre temperaturas e pressões em dois estados do mesmo massa:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\!\frac{n-1}{n}}.
Aqui tomo 1 = entrada e 2 = saída. Essa fórmula vem de substituir V em P V^{n}= const e simplificar; serve para ligar T, P e n.
Aplicando:
\frac{T_{\mathrm{out}}}{T_{\mathrm{in}}}=\left(\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}\right)^{\!\frac{n-1}{n}}.
Tomando logaritmos:
\ln\!\left(\frac{T_{\mathrm{out}}}{T_{\mathrm{in}}}\right)=\frac{n-1}{n}\,\ln\!\left(\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}\right).
Isolando n:
n=\frac{\ln\!\left(\dfrac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}\right)-\ln\!\left(\dfrac{T_{\mathrm{out}}}{T_{\mathrm{in}}}\right)}.
Agora substituindo números (já calculamos T_{\mathrm{in}}):
\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}=\frac{1\times10^{5}}{10\times10^{6}}=0{,}01, \qquad \frac{T_{\mathrm{out}}}{T_{\mathrm{in}}}=\frac{300}{1666{,}667}=0{,}18.
\ln(0{,}01)=-4{,}605170,\qquad \ln(0{,}18)=-1{,}714798.
n=\frac{-4{,}605170}{-4{,}605170-(-1{,}714798)}=\frac{-4{,}605170}{-2{,}890372}\approx1{,}594.
Interpretação curta: o expoente n saiu maior que 1{,}4 (gamma do ar), o que indica um processo politrópico mais brusco do que um isentrópico ideal — mas usamos os dados do enunciado (temperatura de saída e velocidades) para determinar n.

Passo 4

Calcular a potência da turbina usando a equação de energia para fluxo estacionário e sem troca de calor.
Fórmula útil (equação de energia por unidade de massa para escoamento estacionário, horizontal, sem calor e sem trabalho de eixo externo exceto o da turbina):
\dot{W}=\dot{m}\left(h_{\mathrm{in}}+\frac{v_{\mathrm{in}}^{2}}{2}-h_{\mathrm{out}}-\frac{v_{\mathrm{out}}^{2}}{2}\right),
onde \dot{W} é a potência produzida pela turbina (positiva se a turbina produz trabalho), h é a entalpia específica e v as velocidades.
Para ar ideal e calor específico aproximadamente constante:
h=c_{p}T.
Logo o termo de entalpia por unidade de massa é c_{p}(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}}).
Calculemos os termos numéricos:
c_{p}(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})=1005\,(1666{,}667-300)=1005\times1366{,}667=1\,373\,500{,}33\\ \mathrm{J/kg}.
Velocidades:
\frac{v_{\mathrm{in}}^{2}}{2}=\frac{33{,}333^{2}}{2}=\frac{1111{,}111}{2}=555{,}556\\ \mathrm{J/kg},
\frac{v_{\mathrm{out}}^{2}}{2}=\frac{600^{2}}{2}=\frac{360000}{2}=180{,}000\\ \mathrm{J/kg}.
A diferença cinética por unidade de massa:
\frac{v_{\mathrm{in}}^{2}}{2}-\frac{v_{\mathrm{out}}^{2}}{2}=555{,}556-180{,}000=-179{,}444{,}44\\ \mathrm{J/kg}.
O trabalho específico disponível (por kg) é:
w_{\mathrm{spec}}=c_{p}(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}})+\frac{v_{\mathrm{in}}^{2}}{2}-\frac{v_{\mathrm{out}}^{2}}{2}=1\,373\,500{,}33-179{,}444{,}44=1\,194\,055{,}89\\ \mathrm{J/kg}.
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{W}=\dot{m}\,w_{\mathrm{spec}}=836{,}24\times1\,194\,055{,}89\approx9{,}985\times10^{8}\\ \mathrm{W}.
Em unidades mais familiares:
\dot{W}\approx998{,}5\\ \mathrm{MW}.
Comentário didático final: a potência é grande porque a vazão mássica calculada é elevada (ar muito denso na entrada) e a queda de entalpia (temperatura alta de entrada para 300 K) é grande; o aumento de velocidade na saída reduz um pouco a potência disponível (energia foi parcialmente transformada em energia cinética do fluxo).

Resposta

(a) n=1{,}594
(b) \dot{W}\approx9{,}985\times10^{8}\\ \mathrm{W}\approx998{,}5\\ \mathrm{MW}

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