Uma turbina isolada termicamente recebe um fluxo de ar de
a 10 MPa . As áreas de entrada e de saída do ar são iguais a
e estão dispostas horizontalmente. A temperatura e pressão de saída são
e
, respectivamente, e a velocidade de saída é
. Considerando que o ar passa por um processo politrópico sem atrito, determine:
a) O expoente do processo
b) A potência da turbina
a) O expoente do processo
b) A potência da turbina
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) o expoente do processo politrópico;
(b) a potência da turbina.
(a) o expoente
(b) a potência da turbina.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Vazão volumétrica na entrada:
. - Pressão de entrada:
. - Áreas de entrada e saída:
. - Temperatura de saída:
. - Pressão de saída:
. - Velocidade de saída:
. - O ar passa por um processo politrópico sem atrito.
- A turbina é isolada termicamente e os eixos estão na mesma cota (não há troca de calor e não há variação de energia potencial).
Constantes que vou usar (valores típicos para ar seco):
- Constante dos gases específica:
. - Calor específico a pressão constante (aprox. para ar):
.
A estratégia geral:
- Usar continuidade e lei dos gases ideais para obter a vazão mássica
. - Determinar
a partir de e . - Usar a relação do processo politrópico para calcular
. - Aplicar a equação de energia em regime permanente para fluxo estacionário sem calor (turbina) e obter a potência
.
Passo 2
Calcular velocidades e vazão mássica usando continuidade e equação do gás ideal.
Primeiro a velocidade de entrada (a partir da vazão volumétrica dada e da área):
A vazão volumétrica na saída é
.
Agora a densidade na saída pelo gás ideal:
Calculemos:
A vazão mássica é constante e pode ser obtida na saída:
Com
podemos encontrar a densidade na entrada:
E então a temperatura de entrada pelo gás ideal:
Explicação didática curta: a equação dos gases ideais
relaciona pressão, densidade e temperatura. Usei a saída (onde
e
são conhecidas) para obter
e a vazão mássica, que é a grandeza conservada no escoamento estacionário.
Passo 3
Determinar o expoente
do processo politrópico.
Teoria necessária (curta e prática):
- Para um processo politrópico aplicado a um gás ideal vale
constante. - Usando
(do gás ideal), é possível obter a relação entre temperaturas e pressões em dois estados do mesmo massa:
Aqui tomo
= entrada e
= saída. Essa fórmula vem de substituir
em
const e simplificar; serve para ligar
,
e
.
Aplicando:
Tomando logaritmos:
Isolando
:
Agora substituindo números (já calculamos
):
Interpretação curta: o expoente
saiu maior que
(gamma do ar), o que indica um processo politrópico mais brusco do que um isentrópico ideal — mas usamos os dados do enunciado (temperatura de saída e velocidades) para determinar
.
Passo 4
Calcular a potência da turbina usando a equação de energia para fluxo estacionário e sem troca de calor.
Fórmula útil (equação de energia por unidade de massa para escoamento estacionário, horizontal, sem calor e sem trabalho de eixo externo exceto o da turbina):
onde
é a potência produzida pela turbina (positiva se a turbina produz trabalho),
é a entalpia específica e
as velocidades.
Para ar ideal e calor específico aproximadamente constante:
Logo o termo de entalpia por unidade de massa é
.
Calculemos os termos numéricos:
Velocidades:
A diferença cinética por unidade de massa:
O trabalho específico disponível (por kg) é:
Multiplicando pela vazão mássica:
Em unidades mais familiares:
Comentário didático final: a potência é grande porque a vazão mássica calculada é elevada (ar muito denso na entrada) e a queda de entalpia (temperatura alta de entrada para 300 K) é grande; o aumento de velocidade na saída reduz um pouco a potência disponível (energia foi parcialmente transformada em energia cinética do fluxo).
Resposta
(a)
(b)