A massa específica de uma amostra de paládio CFC é 11,98 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e seu parâmetro de rede é de 0,38902 \mathrm{~nm} e seu peso atômico é 106,4 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Calcule:
(a) A quantidade média de lacunas por célula unitária
(b) o número total de lacunas em um centímetro cúbico de Pd .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Massa específica (densidade): \rho = 11,98\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Parâmetro de rede: a = 0,38902\\ \mathrm{nm}.
  • Peso atômico (massa molar): M = 106,4\\ \mathrm{g/mol}.
  • Estrutura cristalina: cúbica de face centrada (CFC). Numa célula unitária CFC ideal há n_{\text{ideal}} = 4 átomos por célula.
Perguntas:
(a) Calcular a quantidade média de lacunas (vacâncias) por célula unitária.
(b) Calcular o número total de lacunas em 1\\ \mathrm{cm^{3}} de Pd.
Observação: a ideia é comparar o número real de átomos por célula (inferido da densidade medida) com o número ideal 4. A diferença média 4 - n_{\text{real}} será o número médio de lacunas por célula.

Passo 2

Fórmulas importantes e conversões de unidades (explicando cada símbolo):
A densidade de um cristal pode ser escrita por
\rho = \frac{n\,M}{N_A\,V_{\text{cel}}},
onde:
  • \rho é a massa específica (em \mathrm{g/cm^{3}});
  • n é o número médio de átomos por célula unitária (adimensional);
  • M é a massa molar do elemento (em \mathrm{g/mol});
  • N_A é a constante de Avogadro, N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}};
  • V_{\text{cel}} é o volume da célula unitária (em \mathrm{cm^{3}}).
Dessa fórmula, isolamos n para encontrar o número real de átomos por célula:
n = \frac{\rho\,N_A\,V_{\text{cel}}}{M}.
O volume da célula unitária cúbica é
V_{\text{cel}} = a^{3}.
Primeiro convertemos a para centímetros. Lembrando que 1\\ \mathrm{nm} = 1\times10^{-7}\\ \mathrm{cm}, temos
a = 0,38902\\ \mathrm{nm} = 0,38902\times10^{-7}\\ \mathrm{cm} = 3{,}8902\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Agora calculamos V_{\text{cel}}:
V_{\text{cel}} = \bigl(3{,}8902\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\bigr)^{3}.
Faço a conta passo a passo:
3{,}8902^{3} \approx 58{,}8848,
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V_{\text{cel}} \approx 58{,}8848\times10^{-24}\\ \mathrm{cm^{3}} = 5{,}88848\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 3

Calcular o número médio de átomos por célula n usando a fórmula:
n = \frac{\rho\,N_A\,V_{\text{cel}}}{M}.
Substituindo os valores (com \rho = 11{,}98, N_A = 6{,}02214076\times10^{23}, V_{\text{cel}} = 5{,}88848\times10^{-23} e M = 106{,}4):
n \approx \frac{11{,}98 \times 6{,}02214076\times10^{23} \times 5{,}88848\times10^{-23}}{106{,}4}.
Calculando em partes:
6{,}02214076\times10^{23}\times 5{,}88848\times10^{-23} \approx 35{,}4613
11{,}98 \times 35{,}4613 \approx 424{,}83
n \approx \frac{424{,}83}{106{,}4} \approx 3{,}9927.
Interpretação: o número médio de átomos por célula observado é n_{\text{real}}\approx 3{,}9927. Como a célula ideal tem 4 átomos, há em média menos átomos — isso indica a presença de lacunas.

Passo 4

Número médio de lacunas por célula unitária é
\text{lacunas por célula} = n_{\text{ideal}} - n_{\text{real}} = 4 - 3{,}9927 \approx 0{,}0073.é
Explicação intuitiva: em média cada célula tem cerca de 0{,}0073 sítios vazios — menos que uma lacuna por célula, como era de se esperar.

Passo 5

Agora calculamos o número total de lacunas por \,1\\ \mathrm{cm^{3}}.
Primeiro o número de células unitárias por \,1\\ \mathrm{cm^{3}} é
N_{\text{cel}} = \frac{1}{V_{\text{cel}}} = \frac{1}{5{,}88848\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}} \approx 1{,}6981\times10^{22}\\ \text{células/cm}^{3}.é
Multiplicando pelo número médio de lacunas por célula:
N_{\text{lacunas}} = \bigl(4 - n\bigr)\times N_{\text{cel}} \approx 0{,}007264 \times 1{,}6981\times10^{22}.
Fazendo a multiplicação:
N_{\text{lacunas}} \approx 1{,}23\times10^{20}\\ \text{lacunas/cm}^{3}.

Resposta

(a) 0{,}00726 lacunas por célula unitária
(b) 1{,}23\times10^{20} lacunas por \mathrm{cm^{3}}

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