A massa
, na figura, é de
e a de
é de 2,0 kg . O coeficiente de atrito entre
e o plano horizontal é de 0,50 . O plano inclinado é liso. Para o sistema em movimento, determine: a) a tensão no fio;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos duas massas ligadas por um fio: uma de 4,0 kg (
m₁) está sobre um plano inclinado que é liso, ou seja, não tem atrito. A outra massa é de 2,0 kg (m₂) e está sobre um plano horizontal com um coeficiente de atrito de 0,50. Nosso objetivo é descobrir qual é a tensão (T) no fio enquanto o sistema está em movimento.Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que agem em cada massa. Para a massa
m₁ no plano inclinado, temos:- Peso (
P₁): Puxando para baixo, com magnitudem₁ * g, ondegé a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²). - Componente do peso paralela ao plano (
P₁_parallel):m₁ * g * sin(θ), ondeθé o ângulo do plano inclinado. - Componente do peso perpendicular ao plano (
P₁_perpendicular):m₁ * g * cos(θ). - Tensão no fio (
T): Puxando a massa para cima do plano.
Como o plano é liso, não temos atrito nessa massa.
Passo 3
Para a massa
m₂ no plano horizontal, temos:- Peso (
P₂): Puxando para baixo, com magnitudem₂ * g. - Força normal (
N): Igual aP₂, entãoN = m₂ * g, porque não há aceleração vertical. - Força de atrito (
f):μ * N = μ * m₂ * g, puxando para trás. - Tensão no fio (
T): Puxando a massa para a direita.
Passo 4
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa. Para
m₁ no plano inclinado:A força resultante na direção do movimento é
T - m₁ * g * sin(θ) = m₁ * a.Para
m₂ no plano horizontal:A força resultante é
T - μ * m₂ * g = m₂ * a.Aqui,
a é a aceleração do sistema, que é a mesma para ambas as massas porque estão ligadas.Passo 5
Agora, precisamos resolver essas duas equações para encontrar a tensão
T. Primeiro, vamos somar as duas equações:T - m₁ * g * sin(θ) + T - μ * m₂ * g = (m₁ + m₂) * aIsso simplifica para:
2T - m₁ * g * sin(θ) - μ * m₂ * g = (m₁ + m₂) * aMas como estamos procurando a tensão, podemos reescrever as duas equações para
T:Da primeira equação:
T = m₁ * a + m₁ * g * sin(θ)Da segunda equação:
T = m₂ * a + μ * m₂ * gPasso 6
Igualando as duas expressões para
T:m₁ * a + m₁ * g * sin(θ) = m₂ * a + μ * m₂ * gResolvendo para
a:a = (m₁ * g * sin(θ) - μ * m₂ * g) / (m₁ + m₂)Passo 7
Com
a encontrada, podemos substituir de volta em uma das equações para T. Vamos usar T = m₂ * a + μ * m₂ * g:T = m₂ * [(m₁ * g * sin(θ) - μ * m₂ * g) / (m₁ + m₂)] + μ * m₂ * gPasso 8
Depois de simplificar os termos, teremos a expressão para
T. Porém, para finalizar, precisamos do valor do ângulo θ do plano inclinado. Como ele não foi fornecido no enunciado, vamos supor que o plano seja horizontal (θ = 0°), o que simplifica sin(θ) = 0:T = m₂ * [(0 - μ * m₂ * g) / (m₁ + m₂)] + μ * m₂ * gSimplificando:
T = - (μ * m₂² * g) / (m₁ + m₂) + μ * m₂ * gT = μ * m₂ * g * [1 - (m₂ / (m₁ + m₂))]Substituindo os valores:
T = 0,50 * 2,0 kg * 9,8 m/s² * [1 - (2,0 kg / (4,0 kg + 2,0 kg))]T = 0,50 * 2,0 * 9,8 * [1 - 2/6]T = 1,0 * 9,8 * [1 - 0,333]T = 9,8 * 0,667T ≈ 6,53 NResposta
A tensão no fio é aproximadamente 6,53 N.