Muitos materiais, como plásticos e alguns tipos de borracha, possuem pequenos orifícios que, embora invisíveis aos nossos olhos, podem possibilitar o escape dos gases. Se você encher duas bolas de borracha, uma com nitrogênio ( N_{2} ) e a outra com hélio (He), qual delas murchará mais rapidamente? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das duas bolas murchará mais rapidamente quando uma for enchida com nitrogênio e a outra com hélio, sabendo que o material (borracha/plástico) tem pequenos orifícios que permitem o escape de gás. Pergunta pedida: determinar qual murcha mais rápido e justificar. Informações dadas: uma bola contém \mathrm{N_2}, a outra contém \mathrm{He}; existem pequenos orifícios que permitem que moléculas de gás saiam (escape por poros).

Passo 2

O mecanismo físico relevante é o escape de moléculas por poros pequenos — isso é chamado de efusão quando as moléculas passam por orifícios muito menores que a média do caminho livre. Na efusão, a taxa com que moléculas saem pela fresta depende de quantas moléculas “batem” e atravessam a abertura por unidade de tempo; intuitivamente, quanto mais rápidas as moléculas, mais vezes elas atingem e atravessam o orifício. Então precisamos entender o que determina a velocidade média das moléculas de um gás.

Passo 3

Vamos introduzir uma relação da teoria cinética dos gases que liga a temperatura à velocidade das moléculas. A ideia física: em equilíbrio térmico, a energia cinética média de cada molécula é proporcional à temperatura absoluta T. A fórmula é
\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}k_B T,
onde:
  • m é a massa de uma única molécula (em kg),
  • \overline{v^2} é a média dos quadrados das velocidades (m2/s2),
  • k_B é a constante de Boltzmann ( 1,38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Dessa equação obtemos a velocidade quadrática média (rms, root-mean-square):
v_{\text{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}.
Explicando: v_{\text{rms}} é uma medida típica da velocidade das moléculas; mais temperatura \Rightarrow maior v_{\text{rms}}; maior massa molecular \Rightarrow menor v_{\text{rms}}.

Passo 4

Para comparar gases é mais conveniente usar massa molar M (massa de 1 mol do gás) em vez da massa de uma molécula. Relação entre a massa de uma molécula e a massa molar:
m=\frac{M}{N_A},
onde N_A é o número de Avogadro. Substituindo em v_{\text{rms}} e usando R=N_A k_B (constante dos gases), obtemos
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde:
  • R é a constante dos gases ideais ( 8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • M é a massa molar (em \mathrm{kg/mol} se R estiver em \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
Agora a ligação com a efusão: a taxa de efusão (número de moléculas que saem por unidade de tempo) é proporcional ao número de colisões com a abertura por unidade de tempo, e esse fluxo é proporcional à componente de velocidade na direção do orifício. Para nosso propósito prático isso significa que, em mesma temperatura, a taxa de efusão de um gás é proporcional a v_{\text{rms}}. Assim, para dois gases sob as mesmas condições de temperatura,
\frac{\text{taxa do gás 1}}{\text{taxa do gás 2}}=\frac{v_{\text{rms},1}}{v_{\text{rms},2}}=\sqrt{\frac{M_2}{M_1}}.áá
Esta é a forma prática conhecida como Lei de Graham: a taxa de efusão é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa molar.

Passo 5

Aplique isso aos nossos gases. As massas molares aproximadas são:
M_{\mathrm{He}}=4{,}00\\ \mathrm{g/mol},\qquad M_{\mathrm{N_2}}=28{,}02\\ \mathrm{g/mol}.
Como estamos formando uma razão das massas molares, podemos usar as mesmas unidades (g/mol) porque elas se cancelam. A razão das taxas (velocidades de escape) é
\frac{\text{taxa}_{\mathrm{He}}}{\text{taxa}_{\mathrm{N_2}}}=\sqrt{\frac{M_{\mathrm{N_2}}}{M_{\mathrm{He}}}}=\sqrt{\frac{28{,}02}{4{,}00}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{28{,}02}{4{,}00}=7{,}005,
\sqrt{7{,}005}\approx 2{,}646.
Portanto a taxa de escape (efusão) do hélio é aproximadamente 2{,}65 vezes a do nitrogênio nas mesmas condições de temperatura.

Passo 6

Interpretação física do número: se por exemplo, numa hora o hélio perde certa fração do volume por efusão, o nitrogênio na mesma hora perderia cerca de 1/2{,}65\approx0{,}378 da fração perdida pelo hélio — ou dito de outro modo, a bola com hélio murcha cerca de 2{,}65 vezes mais rápido que a com nitrogênio.

Passo 7

Observações práticas e limitações: além da massa molecular, a permeabilidade real de um gás através da borracha depende também do tamanho molecular, solubilidade no polímero e estrutura do material; hélio é menor e tende a permeabilizar mais facilmente além de ser mais veloz, por isso na prática essa diferença pode até ser maior do que o previsto só pela Lei de Graham. Mas para justificar qualitativamente e quantitativamente a resposta da questão, a razão de massas molares e a Lei de Graham já dão a explicação principal.

Resposta

A bola com \mathrm{He} murchará mais rapidamente; a taxa de escape do \mathrm{He} é cerca de 2{,}65 vezes maior que a do \mathrm{N_2}.

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