(
pt.) Calcule as seguintes integrais de contorno, onde
é o círculo
, percorrido no sentido anti-horário. Use a Fórmula Integral de Cauchy:
pt.) Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. As informações relevantes que temos são: o integrando é
, o ponto singular óbvio é
(pois o denominador zera aí) e a curva envolve esse ponto porque
. A instrução do enunciado manda usar a Fórmula Integral de Cauchy.
Passo 2
Vou lembrar a versão da Fórmula Integral de Cauchy para derivadas e explicar o que cada símbolo significa:
Aqui:
-
é uma função holomorfa (analítica) em uma vizinhança fechada que contém o interior de ; -
é um ponto interior ao contorno ; -
é um inteiro não negativo; é a -ésima derivada de em ; - a integral à direita é a integral de contorno ao longo de
no sentido anti-horário.
Rearranjando para obter a integral, temos
Isso é o que vamos aplicar.
Passo 3
Identifico
,
e
no nosso caso. O integrando é
, que posso ver como
com
Como o denominador é
, segue que
, logo
.
Passo 4
Para usar a fórmula precisamos de
. Calculo
da função
. Usando a regra da cadeia:
Expliquei: a derivada de
é
vezes
, aqui
e
.
Passo 5
Avalio a derivada em
:
Usei que
.
Passo 6
Agora aplico a Fórmula Integral de Cauchy para
:
Substituindo
,
Também é bom lembrar que o sentido anti-horário é o sentido positivo usado na fórmula, então não há sinal extra.
Passo 7
(Pequena verificação alternativa, para firmar a intuição.) Se fizermos a série de Taylor de
em torno de
,
Dividindo por
obtemos
ou seja, o coeficiente do termo
(o resíduo em
) é
. Pela fórmula dos resíduos a integral vale
vezes esse resíduo, ou seja
, o mesmo resultado — bom sinal.