( \mathbf{2 , 5} pt.) Calcule as seguintes integrais de contorno, onde C é o círculo |z|=3, percorrido no sentido anti-horário. Use a Fórmula Integral de Cauchy:
f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_{0}} d z \text { ou } f^{(n)}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}} d z
\left(0,5\right. pt.) Calcule \oint_{C} d z \frac{\sin (\pi z)}{z^{2}} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{\sin(\pi z)}{z^{2}}\,dz
onde C é o círculo |z|=3 percorrido no sentido anti-horário. As informações relevantes que temos são: o integrando é \sin(\pi z)/z^{2}, o ponto singular óbvio é z=0 (pois o denominador zera aí) e a curva envolve esse ponto porque |0|<3. A instrução do enunciado manda usar a Fórmula Integral de Cauchy.

Passo 2

Vou lembrar a versão da Fórmula Integral de Cauchy para derivadas e explicar o que cada símbolo significa:
f^{(n)}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,dz.
Aqui:
  • f é uma função holomorfa (analítica) em uma vizinhança fechada que contém o interior de C;
  • z_{0} é um ponto interior ao contorno C;
  • n é um inteiro não negativo; f^{(n)}(z_{0}) é a n-ésima derivada de f em z_{0};
  • a integral à direita é a integral de contorno ao longo de C no sentido anti-horário.
Rearranjando para obter a integral, temos
\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}\,f^{(n)}(z_{0}).
Isso é o que vamos aplicar.

Passo 3

Identifico f, z_{0} e n no nosso caso. O integrando é \dfrac{\sin(\pi z)}{z^{2}}, que posso ver como \dfrac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}} com
f(z)=\sin(\pi z),\qquad z_{0}=0.
Como o denominador é z^{2}=(z-0)^{2}, segue que n+1=2, logo n=1.

Passo 4

Para usar a fórmula precisamos de f^{(n)}(z_{0})=f^{(1)}(0)=f'(0). Calculo f'(z) da função f(z)=\sin(\pi z). Usando a regra da cadeia:
f'(z)=\frac{d}{dz}\sin(\pi z)=\pi\cos(\pi z).
Expliquei: a derivada de \sin(u) é \cos(u) vezes u', aqui u=\pi z e u'=\pi.

Passo 5

Avalio a derivada em z_{0}=0:
f'(0)=\pi\cos(\pi\cdot 0)=\pi\cos(0)=\pi\cdot 1=\pi.
Usei que \cos(0)=1.

Passo 6

Agora aplico a Fórmula Integral de Cauchy para n=1:
\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-0)^{2}}\,dz=\frac{2\pi i}{1!}\,f'(0)=2\pi i\cdot f'(0).
Substituindo f'(0)=\pi,
\oint_{C}\frac{\sin(\pi z)}{z^{2}}\,dz=2\pi i\cdot \pi=2\pi^{2} i.
Também é bom lembrar que o sentido anti-horário é o sentido positivo usado na fórmula, então não há sinal extra.

Passo 7

(Pequena verificação alternativa, para firmar a intuição.) Se fizermos a série de Taylor de \sin(\pi z) em torno de 0,
\sin(\pi z)=\pi z-\frac{\pi^{3} z^{3}}{6}+\cdots.
Dividindo por z^{2} obtemos
\frac{\sin(\pi z)}{z^{2}}=\frac{\pi}{z}-\frac{\pi^{3} z}{6}+\cdots,
ou seja, o coeficiente do termo 1/z (o resíduo em z=0) é \pi. Pela fórmula dos resíduos a integral vale 2\pi i vezes esse resíduo, ou seja 2\pi i\cdot\pi=2\pi^{2} i, o mesmo resultado — bom sinal.

Resposta

2\pi^{2} i