(
pt.) Calcule as seguintes integrais de contorno, onde
é o círculo
, percorrido no sentido anti-horário. Use a Fórmula Integral de Cauchy:
pt.) Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
percorrido no sentido anti-horário.
Informações fornecidas relevantes:
Informações fornecidas relevantes:
- A função integrada é
. - Há uma singularidade (polo) quando o denominador anula: em
. - O ponto
tem módulo , portanto está dentro do círculo (já que ). - O contorno é fechado e a orientação é positiva (anti-horário).
A partir daqui vamos aplicar a Fórmula Integral de Cauchy para calcular a integral.
Passo 2
Relembre a Fórmula Integral de Cauchy em sua forma mais usada para integrais do tipo
:
ou equivalentemente
desde que
seja analítica em toda a região interior a
e
esteja no interior de
.
Aqui podemos identificar (que é inteira, ou seja, analítica em todo
) e
, porque
Aqui podemos identificar
Portanto a hipótese do teorema está satisfeita:
é analítica dentro de
e
está no interior.
Passo 3
Aplicando diretamente a fórmula, obtemos
Agora calculemos
. Temos
Portanto
Passo 4
(Verificação alternativa rápida, útil para a prova) Pela teoria de resíduos, o resíduo no polo simples
é
e pela fórmula dos resíduos
vezes a soma dos resíduos internos, que dá novamente
. Resultado consistente.