( \mathbf{2 , 5} pt.) Calcule as seguintes integrais de contorno, onde C é o círculo |z|=3, percorrido no sentido anti-horário. Use a Fórmula Integral de Cauchy:
f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{z-z_{0}} d z \text { ou } f^{(n)}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}} d z
\left(0,5\right. pt.) Calcule \oint_{C} d z \frac{z^{2}}{z+i}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{z^{2}}{z+i}\,dz
onde C é o círculo |z|=3 percorrido no sentido anti-horário.
Informações fornecidas relevantes:
  • A função integrada é g(z)=\dfrac{z^{2}}{z+i}.
  • Há uma singularidade (polo) quando o denominador anula: em z=-i.
  • O ponto z=-i tem módulo |-i|=1, portanto está dentro do círculo |z|=3 (já que 1<3).
  • O contorno é fechado e a orientação é positiva (anti-horário).
    A partir daqui vamos aplicar a Fórmula Integral de Cauchy para calcular a integral.

Passo 2

Relembre a Fórmula Integral de Cauchy em sua forma mais usada para integrais do tipo \dfrac{f(z)}{z-z_{0}}:
f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\,dz,
ou equivalentemente
\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\,dz=2\pi i\,f(z_{0}),
desde que f seja analítica em toda a região interior a C e z_{0} esteja no interior de C.
Aqui podemos identificar f(z)=z^{2} (que é inteira, ou seja, analítica em todo \mathbb{C}) e z_{0}=-i, porque
\frac{z^{2}}{z+i}=\frac{f(z)}{z-(-i)}.
Portanto a hipótese do teorema está satisfeita: f é analítica dentro de C e z_{0}=-i está no interior.

Passo 3

Aplicando diretamente a fórmula, obtemos
\oint_{C}\frac{z^{2}}{z+i}\,dz=2\pi i\cdot f(-i).
Agora calculemos f(-i). Temos
f(-i)=(-i)^{2}=(-i)\cdot(-i)=i^{2}=-1.
Portanto
\oint_{C}\frac{z^{2}}{z+i}\,dz=2\pi i\cdot(-1)=-2\pi i.

Passo 4

(Verificação alternativa rápida, útil para a prova) Pela teoria de resíduos, o resíduo no polo simples z=-i é
\operatorname{Res}\!\left(\frac{z^{2}}{z+i},-i\right)=\lim_{z\to -i}(z+ i)\frac{z^{2}}{z+i}=(-i)^{2}=-1,
e pela fórmula dos resíduos \oint_{C}=\;2\pi i vezes a soma dos resíduos internos, que dá novamente -2\pi i. Resultado consistente.

Resposta

-2\pi i