Considere um corpo de massa
em queda vertical sob a ação da gravidade e de uma força de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. Assuma que a direção positiva é tomada para baixo e que a aceleração da gravidade é constante.
(a) Usando a segunda lei de Newton, deduza a equação diferencial que modela a velocidade
ao longo do tempo.
(b) Escreva a solução explicita da equação modela no item (a).
(a) Usando a segunda lei de Newton, deduza a equação diferencial que modela a velocidade
(b) Escreva a solução explicita da equação modela no item (a).
Passo 1
O enunciado dá um corpo de massa
em queda vertical, sujeito à gravidade (aceleração constante
) e a uma força de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. A direção positiva é tomada para baixo. O que se pede:
- (a) deduzir a equação diferencial que modela a velocidade
; - (b) escrever a solução explícita dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- massa:
; - gravidade:
(apontando para baixo); - força de resistência do ar: proporcional a
, escrevemos a intensidade como com ; - direção positiva para baixo (importante para o sinal da força de resistência);
- aceleração:
.
Passo 2
Modelagem das forças e sinal:
- A força peso tem módulo
e aponta para baixo (direção positiva), logo contribui com . - A força de resistência do ar tem módulo proporcional a
e sempre se opõe ao movimento. Se o corpo está caindo para baixo ( ), a resistência aponta para cima (direção negativa) e sua componente na direção positiva é .
Observação prática: para tratar o caso geral (quandopode mudar de sinal) usa-se a forma , mas supondo queda para baixo com a forma é adequada e mais simples.
Aplicando a segunda lei de Newton (
) na direção positiva (para baixo):
Essa é a equação diferencial pedido no item (a).
Passo 3
Escrever a equação de forma mais conveniente e identificar a velocidade terminal:
Dividindo por ,
Dividindo por
Definimos a constante
Também é útil definir a velocidade terminal
(valor limite quando a resistência equilibra o peso), obtida impondo
:
Com
a equação fica
Passo 4
Separação de variáveis para resolver a EDO (é uma equação separável):
Usando
(já que
), reescrevemos o denominador:
Passo 5
Integrar ambos os lados: vamos calcular a integral à esquerda por frações parciais.
Primeiro note que
Primeiro note que
Portanto, integrando,
onde
é constante de integração. Voltando ao fator
temos
com
outra constante.
Passo 6
Simplificar as constantes: note que
, logo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Exponentiando:
Resolvendo para
,
Reconhecendo a função hiperbólica, usamos
porque
Assim a solução geral pode ser escrita de forma mais compacta:
Passo 7
Determinação da constante pela condição inicial: seja
(valor inicial arbitrário dado na prova ou no problema). Então
Logo
Substituindo em
obtemos a solução explícita com condição inicial:
Esta fórmula é válida enquanto
no sentido da função
; fisicamente, para queda a partir do repouso ou velocidades iniciais menores que a terminal essa forma é a mais direta. Uma forma alternativa (sem arctanh) é obter a expressão em termos de exponenciais:
Especial caseiro útil: se
(largar do repouso),
Passo 8
Interpretação física rápida (útil na prova):
é a velocidade limite atingida quando a resistência equilibra o peso; a solução mostra que
cresce a partir de
e tende assintoticamente para
quando
. Isso faz sentido físico: a resistência aumenta com
até igualar o peso.