(\mathbf{2 , 0}) Considere um corpo de massa m em queda vertical sob a ação da gravidade e de uma força de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. Assuma que a direção positiva é tomada para baixo e que a aceleração da gravidade é constante.
(a) Usando a segunda lei de Newton, deduza a equação diferencial que modela a velocidade v(t) ao longo do tempo.
(b) Escreva a solução explicita da equação modela no item (a).

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa \,m\, em queda vertical, sujeito à gravidade (aceleração constante \,g\,) e a uma força de resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade. A direção positiva é tomada para baixo. O que se pede:
  • (a) deduzir a equação diferencial que modela a velocidade v(t);
  • (b) escrever a solução explícita dessa equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • massa: \,m>0\;;
  • gravidade: \,g>0\; (apontando para baixo);
  • força de resistência do ar: proporcional a v^2, escrevemos a intensidade como \,k v^2 com \,k>0\;;
  • direção positiva para baixo (importante para o sinal da força de resistência);
  • aceleração: \,a(t)=\dfrac{dv}{dt}.

Passo 2

Modelagem das forças e sinal:
  • A força peso tem módulo mg e aponta para baixo (direção positiva), logo contribui com +mg.
  • A força de resistência do ar tem módulo proporcional a v^2 e sempre se opõe ao movimento. Se o corpo está caindo para baixo ( v\ge0), a resistência aponta para cima (direção negativa) e sua componente na direção positiva é -k v^2.
    Observação prática: para tratar o caso geral (quando v pode mudar de sinal) usa-se a forma -k v|v|, mas supondo queda para baixo com v\ge0 a forma -k v^2 é adequada e mais simples.
Aplicando a segunda lei de Newton ( \sum F = m a) na direção positiva (para baixo):
mg - k v^2 = m\frac{dv}{dt}.
Essa é a equação diferencial pedido no item (a).

Passo 3

Escrever a equação de forma mais conveniente e identificar a velocidade terminal:
Dividindo por m,
\frac{dv}{dt}=g-\frac{k}{m}v^2.
Definimos a constante
a:=\frac{k}{m}>0.
Também é útil definir a velocidade terminal \,v_T\, (valor limite quando a resistência equilibra o peso), obtida impondo dv/dt=0:
0=g-a v_T^2 \quad\Rightarrow\quad v_T=\sqrt{\frac{g}{a}}=\sqrt{\frac{mg}{k}}.
Com \,v_T a equação fica
\frac{dv}{dt}=g-a v^2 = a\bigl(v_T^2-v^2\bigr).

Passo 4

Separação de variáveis para resolver a EDO (é uma equação separável):
\frac{dv}{g-a v^2}=dt.
Usando g=a v_T^2 (já que a v_T^2=g), reescrevemos o denominador:
\frac{dv}{g-a v^2}=\frac{1}{a}\cdot\frac{dv}{v_T^2-v^2}.

Passo 5

Integrar ambos os lados: vamos calcular a integral à esquerda por frações parciais.
Primeiro note que
\frac{1}{v_T^2-v^2}=\frac{1}{2v_T}\left(\frac{1}{v_T-v}+\frac{1}{v_T+v}\right).
Portanto, integrando,
\int \frac{dv}{v_T^2-v^2}=\frac{1}{2v_T}\ln\!\left(\frac{v_T+v}{v_T-v}\right)+C_1,
onde C_1 é constante de integração. Voltando ao fator 1/a temos
\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{2v_T}\ln\!\left(\frac{v_T+v}{v_T-v}\right)=t+C,
com C outra constante.

Passo 6

Simplificar as constantes: note que a v_T=g/v_T, logo
\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{2v_T}=\frac{1}{2a v_T}=\frac{v_T}{2g}.
Multiplicando ambos os lados por 2a v_T obtemos
\ln\!\left(\frac{v_T+v}{v_T-v}\right)=\frac{2g}{v_T}(t+C).
Exponentiando:
\frac{v_T+v}{v_T-v}=\exp\!\Bigl(\frac{2g}{v_T}(t+C)\Bigr).
Resolvendo para v,
v(t)=v_T\,\frac{e^{\frac{2g}{v_T}(t+C)}-1}{e^{\frac{2g}{v_T}(t+C)}+1}.
Reconhecendo a função hiperbólica, usamos \operatorname{tanh} porque
\frac{e^{U}-1}{e^{U}+1}=\operatorname{tanh}\!\left(\frac{U}{2}\right).
Assim a solução geral pode ser escrita de forma mais compacta:
v(t)=v_T\,\operatorname{tanh}\!\Bigl(\frac{g}{v_T}(t+C)\Bigr).

Passo 7

Determinação da constante pela condição inicial: seja v(0)=v_0 (valor inicial arbitrário dado na prova ou no problema). Então
v_0=v_T\,\operatorname{tanh}\!\Bigl(\frac{g}{v_T}C\Bigr).
Logo
\frac{g}{v_T}C=\operatorname{arctanh}\!\Bigl(\frac{v_0}{v_T}\Bigr), \qquad C=\frac{v_T}{g}\operatorname{arctanh}\!\Bigl(\frac{v_0}{v_T}\Bigr).
Substituindo em v(t) obtemos a solução explícita com condição inicial:
v(t)=v_T\,\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g}{v_T}t+\operatorname{arctanh}\!\Bigl(\frac{v_0}{v_T}\Bigr)\right).
Esta fórmula é válida enquanto |v_0|<v_T no sentido da função \operatorname{arctanh}; fisicamente, para queda a partir do repouso ou velocidades iniciais menores que a terminal essa forma é a mais direta. Uma forma alternativa (sem arctanh) é obter a expressão em termos de exponenciais:
v(t)=v_T\,\frac{(v_0+v_T)\,e^{\frac{2g}{v_T}t}-(v_T-v_0)}{(v_0+v_T)\,e^{\frac{2g}{v_T}t}+(v_T-v_0)}.
Especial caseiro útil: se v_0=0 (largar do repouso),
v(t)=v_T\,\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g}{v_T}t\right).

Passo 8

Interpretação física rápida (útil na prova): \,v_T=\sqrt{mg/k}\, é a velocidade limite atingida quando a resistência equilibra o peso; a solução mostra que v(t) cresce a partir de v_0 e tende assintoticamente para v_T quando t\to\infty. Isso faz sentido físico: a resistência aumenta com v^2 até igualar o peso.

Resposta

\text{(a)}\quad m\frac{dv}{dt}=mg-kv^{2}.
\text{(b)}\quad v(t)=v_T\,\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g}{v_T}t+\operatorname{arctanh}\!\Bigl(\frac{v_0}{v_T}\Bigr)\right), \quad\text{onde}\quad v_T=\sqrt{\frac{mg}{k}}\\ \text{e}\\ v(0)=v_0.